Lorsqu'une voiture se déplace à vitesse constante, elle est soumise à un certain nombre de forces qui s'opposent à son déplacement : la résistance de l'air, aussi appelée traînée aérodynamique et le frottement du pneu sur la route ou résistance du roulement. On néglige ici les frottements internes du moteur et de la transmission.
La résistance de l'air, Fx est un frottement fluide et donc proporionnelle au carré de la vitesse de la voiture. On a donc
avec :
La résistance du roulement, Fr, est un frottement solide, donc indépendant de la vitesse. On a donc
avec :
La résistance totale est donc la somme des deux composantes ci-dessus.
Les données utilisées pour les calculs sont celles d'une Toyota Yaris Verso Linea Sol 1.5 (moteur 1NZ-FE).
La valeur de k peut être mesurée expérimentalement à l'aide d'un chronomètre et d'un surface plate suffisament longue : on lance la voiture à une vitesse telle que la résistance du vent est négligeable (moins de 20 km/h), on débraye et on chronomètre combien de temps il lui faut pour se retrouver à l'arrêt. On peut alors calculer
où v est la vitesse au moment du débrayage et t le temps mesuré.
Le rendement du moteur a été estimé à partir de courbes de consommation spécifique d'autres moteurs (en particulier le moteur Mercedes M271 E18ML "120 kW-Variante" qui est bien plus puissant que le 1NZ-FE de Toyota). La formule utilisée pour l'efficacité est
où pme(v,rpm) est la pression moyenne efficace en bars, calculée avec la formule suivante:
où rpm est la vitesse de rotation du moteur en tours par minute. (Merci à Loris RION pour avoir corrigé cette formule)
Les courbes ont été tracées par GNUplot à l'aide du script suivant:
### Courbes théoriques de résistance à l'avancement d'une voiture ### Résistance de l'air et consommation en fonction de la vitesse ## Variables ## Route # pente (%) pente=2 ## Toyota Yaris Verso Linea Sol 1.5 (moteur 1NZ-FE) # masse de la voiture plus passagers (kg) m=1090+80 # maître couple (surface frontale) (m^2) S=2.40 # coefficient de traînée Cx=0.32 # coefficient de résistance au roulement (pneu/route) k=0.015 # diamètre de la roue (m) d=0.58 # rendement de la transmission (77% roue/sol, boite de vitesse (.95^2), # différentiel (.95) rt=.66 # cylindrée (L) cyl=1.5 ## Constantes # accélération de la pesanteur (m/s^2) g=9.81 # masse volumique de l'air (kg/m^3) rho=1.20 # masse volumique de l'essence (g/L) masse_vol_ess=734 # Force de résistance de l'air (N), v en km/h Fx(v)=0.5*rho*S*Cx*(v/3.6)**2 # Force de résistance du roulement (N) Fr=m*g*k*cos(atan(pente/100.0)) # Force du poids à cause de la pente Fp=m*g*sin(atan(pente/100.0)) # Couple nécessaire pour vaincre le frottement (N.m), v en km/h C(v) = (Fx(v)+Fr+Fp)*d/2 # Régime moteur à une vitesse donnée, v en km/h Rm5(v) = (v*1000*4.058*0.864)/(60*d*3.14) Rm4(v) = (v*1000*4.058*1.031)/(60*d*3.14) Rm3(v) = (v*1000*4.058*1.310)/(60*d*3.14) Rm2(v) = (v*1000*4.058*1.904)/(60*d*3.14) Rm1(v) = (v*1000*4.058*3.545)/(60*d*3.14) # Vitesse pour un régime moteur donné, r en tr/min V5(r) = (r*60*d*3.14)/(1000*4.058*0.864) V4(r) = (r*60*d*3.14)/(1000*4.058*1.031) V3(r) = (r*60*d*3.14)/(1000*4.058*1.310) V2(r) = (r*60*d*3.14)/(1000*4.058*1.904) V1(r) = (r*60*d*3.14)/(1000*4.058*3.545) # Couple moteur nécessaire (vitesses 5 à 1), v en km/h Cm5(v, min, max) = Rm5(v) < max ? Rm5(v) > min ? C(v)/(rt*4.058*0.864) : 1/0 : 1/0 Cm4(v, min, max) = Rm4(v) < max ? Rm4(v) > min ? C(v)/(rt*4.058*1.031) : 1/0 : 1/0 Cm3(v, min, max) = Rm3(v) < max ? Rm3(v) > min ? C(v)/(rt*4.058*1.310) : 1/0 : 1/0 Cm2(v, min, max) = Rm2(v) < max ? Rm2(v) > min ? C(v)/(rt*4.058*1.904) : 1/0 : 1/0 Cm1(v, min, max) = Rm1(v) < max ? Rm1(v) > min ? C(v)/(rt*4.058*3.545) : 1/0 : 1/0 # Pression moyenne effective (bar), v en km/h, rpm en tr/min pme(v, rpm) = (Fx(v)+Fr+Fp)*v/(3*rt*cyl*rpm) # Consommation spécifique du moteur (g/kWh), v en km/h, rpm en tr/min csp(v, rpm) = (((rpm-2500)*.0025)**2+((pme(v,rpm)-9)*.5)**4)+248.5 ## Plot set xtics 10 set grid xtics ytics back set xlabel 'Vitesse (km/h)' set terminal png medium size 640,480 font 'freefont/FreeSans.ttf' 10 #set terminal postscript eps #set output 'couple_vitesse.eps' set output 'couple_vitesse.png' set ylabel "Couple moteur nécessaire (N.m)" set label '1000' at V5(1000),Cm5(V5(1000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '2000' at V5(2000),Cm5(V5(2000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '3000' at V5(3000),Cm5(V5(3000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '4000' at V5(4000),Cm5(V5(4000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '5000' at V5(5000),Cm5(V5(5000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '6000' at V5(6000),Cm5(V5(6000),0,6000) center point lt 1 ps 2 offset 0,0 set label '1000' at V4(1000),Cm4(V4(1000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '2000' at V4(2000),Cm4(V4(2000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '3000' at V4(3000),Cm4(V4(3000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '4000' at V4(4000),Cm4(V4(4000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '5000' at V4(5000),Cm4(V4(5000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '6000' at V4(6000),Cm4(V4(6000),0,6000) center point lt 2 ps 2 offset 0,0 set label '1000' at V3(1000),Cm3(V3(1000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '2000' at V3(2000),Cm3(V3(2000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '3000' at V3(3000),Cm3(V3(3000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '4000' at V3(4000),Cm3(V3(4000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '5000' at V3(5000),Cm3(V3(5000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '6000' at V3(6000),Cm3(V3(6000),0,6000) center point lt 3 ps 2 offset 0,0 set label '1000' at V2(1000),Cm2(V2(1000),0,6000) center point lt 4 ps 2 offset 0,0 set label '2000' at V2(2000),Cm2(V2(2000),0,6000) center point lt 4 ps 2 offset 0,0 set label '3000' at V2(3000),Cm2(V2(3000),0,6000) center point lt 4 ps 2 offset 0,0 set label '4000' at V2(4000),Cm2(V2(4000),0,6000) center point lt 4 ps 2 offset 0,0 set label '5000' at V2(5000),Cm2(V2(5000),0,6000) center point lt 4 ps 2 offset 0,0 set label '1000' at V1(1000),Cm1(V1(1000),0,6000) center point lt 5 ps 2 offset 0,0 set label '2000' at V1(2000),Cm1(V1(2000),0,6000) center point lt 5 ps 2 offset 0,0 set label '3000' at V1(3000),Cm1(V1(3000),0,6000) center point lt 5 ps 2 offset 0,0 set label '4000' at V1(4000),Cm1(V1(4000),0,6000) center point lt 5 ps 2 offset 0,0 set label '5000' at V1(5000),Cm1(V1(5000),0,6000) center point lt 5 ps 2 offset 0,0 plot [v=0:165] [0:141] \ Cm5(v,1000,6000) title '5ème',\ Cm4(v,1000,6000) title '4ème',\ Cm3(v,1000,6000) title '3ème',\ Cm2(v,1000,6000) title '2nde',\ Cm1(v,1000,6000) title '1ère' #pause -1 unset label set output 'resistance.png' set ylabel 'Résistance (N)' set ytics 100 plot [v=0:165] Fx(v)+Fr+Fp title "Résistance à l\'avancement" #pause -1 set output 'rapport.png' set ylabel 'Fx/Fr' set ytics 1 plot [v=0:165] Fx(v)/Fr title "Rapport de la résistance de l\'air sur la résistance du roulement" #pause -1 #set output 'rendement.png' #set ylabel 'Rendement sur route plate' #set ytics auto #plot [v=0:165] \ # Rm5(v) > 1000 ? Rm5(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm5(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 5ème', \ # Rm4(v) > 1000 ? Rm4(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm4(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 4ème', \ # Rm3(v) > 1000 ? Rm3(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm3(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 3ème', \ # Rm2(v) > 1000 ? Rm2(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm2(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 2ème', \ # Rm1(v) > 1000 ? Rm1(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm1(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 1ère' ##pause -1 # #set output 'consommation.png' #set ylabel 'Consommation (L/100km)' #set ytics 2 #set title "Consommation à vitesse constante sur route plate" #plot [v=0:165] [0:30]\ # Rm5(v) > 1000 ? Rm5(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm5(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 5ème", \ # Rm4(v) > 1000 ? Rm4(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm4(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 4ème", \ # Rm3(v) > 1000 ? Rm3(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm3(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 3ème", \ # Rm2(v) > 1000 ? Rm2(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm2(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 2ème", \ # Rm1(v) > 1000 ? Rm1(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm1(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 1ère" ##pause -1 set output 'rendement-2.png' set ylabel 'Rendement sur pente à 2%' set ytics auto plot [v=0:165] \ Rm5(v) > 1000 ? Rm5(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm5(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 5ème', \ Rm4(v) > 1000 ? Rm4(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm4(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 4ème', \ Rm3(v) > 1000 ? Rm3(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm3(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 3ème', \ Rm2(v) > 1000 ? Rm2(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm2(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 2ème', \ Rm1(v) > 1000 ? Rm1(v) < 6000 ? 85.9/csp(v,Rm1(v)) : 1/0 : 1/0 title 'en 1ère' #pause -1 set output 'consommation-2.png' set ylabel 'Consommation (L/100km)' set ytics 2 set title "Consommation à vitesse constante sur pente à 2%" plot [v=0:165] [0:30]\ Rm5(v) > 1000 ? Rm5(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm5(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 5ème", \ Rm4(v) > 1000 ? Rm4(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm4(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 4ème", \ Rm3(v) > 1000 ? Rm3(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm3(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 3ème", \ Rm2(v) > 1000 ? Rm2(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm2(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 2ème", \ Rm1(v) > 1000 ? Rm1(v) < 6000 ? (Fx(v)+Fr+Fp)*csp(v,Rm1(v))/(36*masse_vol_ess*rt) : 1/0 : 1/0 title "en 1ère" #pause -1
La courbe suivante représente la résistance total en fonction de la vitesse avec les paramètres ci-dessus.
La courbe suivante permet de comparer les deux composantes de la résistance à l'avancement. On considère qu'une grandeur est négligeable par rapport à une autre si la seconde vaut au moins dix fois la première. On voit alors que la résistance de l'air peut être négligée si la vitesse est inférieure à 20 km/h. En revanche, aux vitesses limites autorisées sur route et autoroute en Europe, la résistance du roulement n'est pas négligeable (elle représente 33% du total à 90 km/h et 20% du total à 130 km/h).
La courbe suivante montre la puissance que le moteur doit fournir pour maintenir une vitesse donnée sur route plate et sans vent. La puissance est égale à la force à fournir multipliée par la vitesse. La force à fournir est celle de la résistance à l'avancement divisée par l'efficacité de la transmission (0.66). On voit notamment qu'il suffit de 5 kW pour rouler en ville à 50 km/h, et qu'il en faut quatre fois plus (22 kWh) pour maintenir une vitesse double sur route (100 km/h).
La courbe suivante donne le couple moteur nécessaire pour maintenir la voiture à une vitesse constante sur route plate en fonction de la vitesse et du rapport de boite. Des valeurs du régime moteur ont été ajoutées sur chaque courbe pour information.
La courbe suivante montre le rendement du moteur en fonction de la vitesse et du rapport de boite de vitesse, sur route plate et à vitesse constante encore une fois.
La dernière courbe, enfin, donne la consommation de carburant nécessaire pour s'opposer à la résistance et maintenir une vitesse constante. Le carburant est convertible en énergie (l'essence développe 43,5 MJ/kg, et a une masse volumique de 0,734 kg/L, ce qui donne 31,9 MJ/L. Source: formulaire de chimie et Web), la consommation par unité de distance, qui est la dérivée de l'énergie sur une distance est donc bien une force. L'efficacité du moteur est approximée par la formule ci-dessus et dépend de la vitesse et du régime moteur (donc du rapport de boite de vitesse).
En montée, on doit ajouter l'effet du poids de la voiture aux résistances du vent et de la route. La fraction du poids qui tire la voiture vers l'arrière est égale au sinus de l'angle de la pente, ce qui pour des montées courantes est égal au pourcentage de la pente (l'erreur est inférieure à 0,02 pour des montées inférieures à 20%). Fr diminue légèrement en montée (multiplication par le cosinus de l'angle de la pente qui, pour de pentes de moins de 20% est supérieur à 0,98), mais étant donnée la valeur de k, ce changement est négligeable devant l'effet du poids.
Il faut noter que les courbes de rendement sont de grossières approximations, et que lorsque la courbe « 4è » passe au dessus de la courbe « 5è », cela ne signifie pas forcément que ma voiture aura effectivement un meilleur rendement en 4è qu'en 5è.
Voici les courbes de rendement et de consommation à vitesse constante sur une montée de 2%:
Sur une montée à 4%:
Sur une montée à 6%:
