Supposons qu'on joue à la roulette dans un casino. La roulette est honnête,
donc tous les chiffres ont la même probabilité de sortir. Cette roulette
comporte 18 numéros rouges, 18 numéros numéros noirs et un zéro qui n'est ni
rouge ni noir. Les paris se font par tranche de 1 Euro, et sont limités à 100
Euros. On entre au casino avec 127 Euros en poche, et on parie toujours sur le
rouge et on ne réinvestit pas ce qu'on a gagné, c'est à dire qu'on arrête de
jouer une fois qu'on a perdu les 127 Euros de départ.
À chaque jeu on a donc p = 18/37 chances de gagner (soit un peu moins d'une
chance sur deux).
Si on fait n = 127 paris de 1 Euro, la probabilité de gagner k fois (0 <=
k <= n) est de
P(X = k) = Comb( n, k) p k (1 - p) n - k
(il s'agit d'une Loi binomiale). Les gains après k victoires
sur n parties sont de 2 k - n. On peut donc calculer la somme des P(X =
k) pour tous les k tels que 2 k - n > 0, ce qui donne la probabilité de
quitter le casino avec en poche plus d'Euros que lorsqu'on y est entré. Cette
probabilité est de 0,38, c'est à dire qu'on a 38% de chance de quitter le
casino avec au moins 128 Euros et au plus 254 Euros. Cela signifie aussi qu'on
a 62% de chance de n'avoir rien gagné, voire perdu tout ou partie des 127
Euros initiaux. En fait, on peut s'attendre, en moyenne, à perdre 3,43 Euros.
Jouer une martingale consiste à doubler la mise si on perd, afin que le gain
couvre les pertes passées. La table de roulette ayant une limite de 100 Euros,
on peut donc miser au plus m = 7 fois de suite en doublant la mise à chaque
jeu, soit 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 Euros (ça tombe bien, c'est
justement la somme qu'on avait en entrant au casino). La probabilité de gagner
au bout de i jeux (donc de perdre i - 1 fois puis de gagner une fois) est
P(X = i) = (1 - p) i - 1 p (il s'agit d'une Loi
géométrique). On
peut donc calculer la somme de ces probabilités pour i = 1 … m, qui
représente la probabilité de gagner 1 Euro en utilisant la martingale. Cette
probabilité est de 1 - (1 - p) m = 0,99. Cela signifie qu'on a 99%
de chance de gagner 1 Euro, et donc 1% de chance de perdre 127 Euros. On peut
donc s'attendre à perdre en moyenne 0,21 Euro.
Si on joue la martingale plusieurs fois de suite aussi longtemps que l'on ne
perd pas, on peut espérer gagner à répétition, mais la probabilité de ne
jamais perdre diminue à mesure que l'on joue (il s'agit encore une fois d'une
loi géométrique, cette fois avec avec p = 0,99). Si on parvient à gagner en
jouant la martingale au moins 128 fois de suite, alors on est certain qu'au
moment où la chance tourne et que l'on perd, on ne perd que 127 Euros, et donc
qu'on quitte le casino avec en poche au moins 1 euro de plus que lorsqu'on y
est entré. Cette probabilité est de 0,298. Cela signifie qu'on a 29,8% de
chance de sortir du casino avec au moins 128 Euros en poche. Cela signifie
aussi qu'on a 70,2% de chance de perdre entre 0 et 127 Euros. En fait, on peut
s'attendre à perdre en moyenne 21,8 Euros. Si on compare cette méthode avec la
précédente qui consiste à miser 127 fois 1 Euro sur le rouge, on voit que le
chances de ne pas perdre d'argent sont plus élevées si on n'utilise pas la
martingale, et que les gains moyens sont moins mauvais lorsqu'on n'utilise pas
la martingale (ils sont cependant toujours négatifs, c'est à dire qu'on y perd
toujours de l'argent, en moyenne).
Jouer la martingale a cependant une utilité : la probabilité de
gain élevé est plus grande avec la martingale que sans. Par exemple la
probabilité de gagner au moins 10 Euros est de 11,6% sans martingale et 27,1%
avec la martingale. Pour 20 Euros ou plus, la probabilité est d'à peine 1.9%
sans martingale et de 24,7% avec la martingale, et on a encore environ 10% de
chances de gagner au moins 115 Euros avec la martingale alors que cette
probabilité est de moins d'une sur cent milliards sans martingale.