Microblog: A very long article Wikipedia article on the orientation of toilet paper [Jun 7th, 22:52] [R]

Monday, September 30th, 2019

Week numbers

Categories: [ Science ]

Given a week number, it's not easy to know when it is located in the calendar. And to add to the confusion, there are three definitions of the week number (ISO-8601; Middle Eastern; North-American and Islamic). The EU and most European countries use the ISO-8601 definition, according to Wikipedia.

The following method is quite approximative so the actual definition does not matter so much, but it should help placing a week number in the calendar without having to look it up:

  1. Divide by 4
  2. Subtract 10%
  3. Add 1

The integer part (before the decimal separator) of the result is the number of the month, and the fractional part (after the decimal separator) times three tells you near what day of the month it is located.

For example:

  • Week 1: 1/4 is 0.25, minus 10% is about 0.2, plus 1 is 1.2; 2 times 3 is 6: it's around January 6th (Jan. 1-5, 2019 actually).
  • Week 7: 7/4 is 1.75, minus 10% is about 1.6, plus 1 is 2.6; 6 times 3 is 18: it's around February 18th (Feb. 10-16, 2019 actually).
  • Week 14: 14/4 is 3.5, minus 10% is about 3.2, plus 1 is 4.2; 2 times 3 is 6: it's around April 6th (Mar. 31-Apr. 6, 2019 actually).
  • Week 42: 42/4 is 10.5, minus 10% is about 9.5, plus 1 is 10.5; 5 times 3 is 15: it's around October 15th (Oct. 13-19, 2019 actually).
  • Week 35: 35/4 is 8.75, minus 10% is about 7.9, plus 1 is 8.9; 9 times 3 is 27: it's around August 27th (Aug. 25-31, 2019 actually).
  • Week 52: 52/4 is 13, minus 10% is about 11.7, plus 1 is 12.7; 7 times 3 is 21: it's around December 21st (Dec. 22-28, 2019 actually).

[ Posted on September 30th, 2019 at 18:13 | no comment | ]

Optique photo 7 : conclusion

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Categories: [ Science ]

Suite à des discussion sur la distance focale équivalente d'un objectif monté sur des appareil photo numériques équipés de capteurs de différentes tailles et sur des notions exotiques comme l'ouverture équivalent et la sensibilité équivalente évoquées par Richard Butler sur dpreview.com, je me suis penché sur la question de la pertinence de ces concepts. Les articles suivants publiés précédemment sur mon blog présentent les résultats de mes réflexions.

  1. L'angle de champ
  2. La profondeur de champ
  3. La perspective
  4. La sensibilité
  5. Le temps de pose
  6. L'affichage d'une photo

Je ne m'intéresse à la photo que sous l'angle de l'optique, et comme je ne suis pas photographe pour deux sous, j'ai peut-être écrit des énormités ; si c'est le cas, on peut poster des commentaires sous les articles et tenter de me convaincre que je me suis trompé.

Caractériser une photo

Une photo est souvent caractérisée par le modèle d'appareil ayant servi, ainsi que par la distance focale de l'objectif utilisé, le nombre d'ouverture et le temps de pose. Étant donné la confusion créée par la notion de distance focale équivalente, je me suis demandé si la distance focale était vraiment pertinente pour caractériser une photo. Mais caractériser quoi, exactement ? Et caractériser dans quel but ?

Je fais l'hypothèse que caractériser une photo sert à reproduire la photo, autant que possible à l'identique, avec le même appareil ou avec un autre appareil. Ce qu'on peut chercher alors à reproduire c'est l'angle de champ, les distances limites de la profondeur de champ (c'est à dire la distance du premier plan net et du dernier plan net) et le cas échéant un effet voulu de sur- ou sous-exposition, ou de flou de mouvement. On peut décrire ces caractéristiques par des paramètres ayant davantage de sens que le trio focale, diaphragme et temps de pose ?

L'angle de champ est une combinaison de la distance focale et la taille du capteur, donc indiquer seulement la distance focale en laissant le soin au lecteur de deviner la taille du capteur en fonction du modèle de l'appareil est possible, mais on peut faire mieux en indiquant directement la valeur de l'angle de champ au moment de la prise de vue. Il est ensuite possible de recréer cet angle de champ avec n'importe quelle combinaison judicieuse de capteur et d'objectif.

De même, la profondeur de champ dépend de la distance focale, de l'ouverture du diaphragme, de la taille des pixels du capteur et de la distance de mise au point. Au lieu de détailler les trois premières valeurs, on peut les combiner sous la forme de la distance hyperfocale. Les distances des premier et dernier plans nets sont alors deux fonctions simples de la distance de mise au point et de la distance hyperfocale. Reproduire la profondeur de champ devient alors simplement une question de prendre la même distance hyperfocale et de faire la mise au point sur la distance donnée.

Si le photographe ne cherche pas d'effet d'exposition particulier, la sensibilité du capteur est une fonction des autres paramètres pour une valeur d'exposition idéale, standard. En revanche si la photo a été volontairement sur- ou sous-exposée, il faut indiquer la sensibilité utilisée au moment de la prise de vue.

Le flou de mouvement enfin est particulier car il dépend du temps, et le temps de pose est le seul paramètre qui en dépende également. Dans de cas d'une exposition standard, le temps de pose a une valeur minimale qui dépend de la distance focale, et on peut supposer que cette valeur sera choisie car elle permet d'utiliser la sensibilité la plus faible possible et ainsi réduire le bruit. En revanche si un flou de mouvement est voulu par le photographe, ou au contraire si l'objet se déplace rapidement et que le but est de le « figer », il faut alors indiquer le temps de pose.

En conclusion, au lieu de caractériser une photo par le modèle d'appareil, la distance focale, le nombre d'ouverture et éventuellement le temps de pose et la sensibilité, on peut caractériser une image de manière plus générique et descriptive en indiquant l'angle de champ, la distance hyperfocale, la distance de mise au point et éventuellement la sensibilité et le temps de pose. Bien que ces nouvelles caractéristiques soient moins connues que celles utilisées jusqu'à présent, calculer leurs valeurs ne pose pas de problème aux appareils photos numériques et pourraient donc être incluses dans les métadonnées des images. Et je suis certain que la signification des caractéristiques « classiques » n'est pas mieux comprise par la plupart des photographes que les caractéristiques proposées ici, remplacer en ensemble de valeurs hermétique par un autre ensemble de valeurs hermétiques ne devrait donc pas poser de problème une fois vaincue la résistance naturelle de l'être humain au changement.

Applications numériques

Pour se faire une idée des valeurs numériques des caractéristiques décrites plus haut, voici des applications numériques de diverses formules pour trois appareils photos de référence : un compact, un boitier APS-C et un plein format avec 3 objectifs.

Appareils photo de référence
Appareil Pixels Capteur Objectifs
A 21,1 Mpix 6,17×4,55 mm
(1/2,3)
4,3-172,0 mm, f/3,3-f/6,9
B 25,0 Mpix 23,5×15,6 mm
(APS-C)
16 mm, f/2,8 ;
18-135 mm, f3,5-5,6
C 27,1 Mpix 36×24 mm
(plein format)
16-35 mm, f/4 ;
35-70mm, f/2,8;
70-200mm, f/2,8
Dimensions d'un pixel
Appareil ε Surface Densité
A 1,15 μm 1,33 pm2 752 000 px/mm2
B 3,83 μm 14,7 pm2 68 200 px/mm2
C 5,65 μm 31,9 pm2 31 400 px/mm2
Angles de champ
Appareil θ (rad) θ (°)
A 1,45-0,446 83-2,55
B 1,45
1,33-0,208 
83
76,2-11,9
C 1,86-1,11
1,11-0,599
0,599-0,215
107-63,4
63,4-34,4
34,4-12,4
Distances hyperfocales
Appareil F (m) f/N (mm)
A 2,01-3730 4,3/8-172/6,9
B 3,04-23,9
3,85-850
16/22-16/2,8
18/22-135/5.6
C 2,06-54,2
9,86-310
39,4-2530
16/22-35/4
35/22-70/2,8
70/22-200/2,8
Sensibilité

En admettant que les capteurs des appareils A, B et C ne diffèrent que par la taille de leurs pixels (ce qui est loin d'être évident) et en fixant un niveau de bruit à ne pas dépasser dans l'image obtenue, on peut comparer leur « sensibilités » relatives.

  • A est 11 fois moins sensible que B et 24 fois moins sensible que C.
  • B est 11 fois plus sensible que B et 2,2 fois moins sensible que C.
  • C est 24 fois plus sensible que A et 2,2 fois plus sensible que B.

On peut aussi comparer, à distance focale et temps de pose égaux, de combien de crans il faut ouvrir ou fermer le diaphragme pour obtenir la même exposition et le même niveau de bruit.

  • A doit ouvrir de 3,5 crans par rapport à B et de 4,6 crans par rapport à C.
  • B doit fermer de 3,5 crans par rapport A et ouvrir de 1,1 crans par rapport à C.
  • C doit fermer de 4,6 crans par rapport à A et de 1,1 crans par rapport à B.
Affichage
  • Moniteur 16:10 24" FullHD : 2,30 Mpx ; taille d'un pixel : 405 μm
  • Moniteur 16:9 32" 4k : 8,29 Mpx ; taille d'un pixel : 265 μm
  • Moniteur 16:9 27" 5k : 14,8 Mpx ; taille d'un pixel : 167 μm
  • Télévision 16:9 40" FullHD : 2,07 Mpx ; taille d'un pixel : 661 μm
  • Télévision 16:9 55" 4k : 8,29 Mpx ; taille d'un pixel : 455 μm
  • Télévision 16:9 85" 8k ; 33,2 Mpx ; taille d'un pixel : 351 μm
  • Impression papier à 300 dpi :taille d'un pixel : 84,7 μm
  • Impression à 300 dpi en 10×13 cm : 1,81 Mpix
  • Impression à 300 dpi en 10×15 cm : 2,09 Mpix
  • Impression à 300 dpi en 20×30 cm : 8,37 Mpix
  • Impression à 300 dpi en 40×60 cm : 33,5 Mpix
  • Impression à 300 dpi en 76×115 cm : 122 Mpix

[ Posted on September 30th, 2019 at 08:30 | no comment | ]

Friday, September 20th, 2019

Optique photo 6 : l'affichage

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Categories: [ Science ]

Taille d'un point d'affichage

La notion de flou qui est importante pour la profondeur de champ et le flou de bougé ne dépend pas tant de la taille des pixels du capteur que de la taille des pixels au moment de l'affichage, que ce soit sur un écran ou sur un support physique comme le papier. En effet, utiliser la taille d'un pixel comme taille maximale ε d'une tache de flou donne une garantie que le flou n'est pas perçu par le capteur et donc n'est pas enregistré dans l'image, mais puisque l'image est destinée à être regardée par un humain, ce qui importe in fine c'est la capacité de l'humain à percevoir le flou. On peut donc définir une nouvelle valeur de ε utilisé dans les calculs de profondeur de champ et de bougé en fonction de la manière d'afficher l'image.

Pour un affichage sur écran, on peut calculer la taille d'un pixel ε (en mètres) en fonction de la diagonale D (en pouces), du format R (par exemple 16/9) et du nombre de pixels par ligne n:

ε = 0,0254 × D√(1 + 1 / R) / n

Pour un affichage sur papier, on peut calculer la taille d'un point ε (en mètres) en fonction de la définition de l'impression d (en points par pouce, dpi):

ε = 0.0254 / d

Agrandissement maximal

Pour éviter les effets de crénelage lors de l'affichage, il faut aussi veiller à ne pas afficher l'image à une trop grande taille par rapport à la résolution de l'image numérique. En d'autres termes, le nombre de pixels N de l'affichage ne doit pas être plus grand que le nombre de pixels de l'image (c'est à dire du capteur si on ne retaille pas l'image). On suppose ici que l'intégralité de l'image est affichée sur l'écran ou le papier, c'est à dire qu'on ne va pas zoomer dans l'image.

Pour un écran, le nombre de pixels N vaut

N = n2 / R

Pour un tirage papier de densité d points par pouce, N vaut

N = 0,155 × l2d2 / R

où l est la largeur du papier et R est le rapport largeur sur hauteur.

On peut aussi calculer N en fonction de la largeur l et la hauteur h du papier :

N = 0,155 × lhd2

[ Posted on September 20th, 2019 at 13:06 | 1 comment | ]

Monday, September 16th, 2019

Optique photo 5 : le temps de pose

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Exposition et temps de pose

Du point de vue pratique, l'exposition d'une photo dépend du nombre d'ouverture du diaphragme, de la sensibilité du capteur et du temps de pose. On peut comprendre cette exposition comme la quantité de lumière nécessaire pour que chaque pixel du capteur CCD reçoive suffisamment de photons pour produire une valeur « raisonnable » de ce pixel. On a alors le choix d'exposer ces pixels à un flot de lumière important pendant un temps court, ou au contraire un flot de lumière plus faible pendant un temps plus long pour recevoir le même nombre de photons, et donc obtenir le même résultat.

Plus formellement, l'exposition lumineuse H est définie par H = Et, où E est l'éclairement lumineux c'est à dire le flot de lumière et t est le temps de pose.

optique_photo_1

En faisant l'hypothèse d'un système idéal d'une lentille mince parfaitement transparente uniformément éclairée par l'objet photographié, on peut définir l'éclairement lumineux comme E = Lπ / (4(N / (1 - f / l))2) où L est la luminance de l'objet, f est la distance focale de l'objectif, l est la distance de l'objet et N est le nombre d'ouverture du diaphragme. Dans le cas courant où la distance focale est négligeable par rapport à la distance à l'objet, on peut simplifier cette définition en E = Lπ / (4N2).

Par ailleurs, la sensibilité est définie par S = H0 / H où H0 est une valeur d'exposition de référence, constante. En considérant que la luminance de l'objet est elle aussi constante, on obtient la relation

St / N2 = 4H0 / (Lπ)

qui indique bien que si l'un des trois paramètres N, S ou t varie alors l'un au moins des deux autres paramètres doit varier pour que l'égalité soit toujours vérifiée.

Flou et temps de pose

Si le sujet ou l'appareil photo se déplacent pendant la prise de vue, on comprend aisément qu'un point de l'objet donne une image qui se déplace sur le capteur, qui enregistre alors plusieurs points contigus.

Parmi tous les mouvements possibles de l'appareil photo qui conduisent à un flou de bougé, un mouvement simple à modéliser est une rotation de l'appareil photo autour du centre optique O. On considère que durant la prise de vue, le point A s'est déplacé en B, et que le temps de pose est assez long pour que le capteur enregistre toutes les positions prises par ce point entre A' et B'. L'image du point, au lieu d'être un point, est alors un trait de longueur h'. On peut exprimer h' en fonction de θ

h' = tan(θ)lf/(l-f)

Lorsque la distance focale f est négligeable devant l et que θ est inférieur à 0.5 radians (soit 29°, ce qui fait que l'erreur d'approximation de tan(θ) est inférieure à 10%), on peut simplifier en

h' = fθ

En considérant que l'angle θ est le résultat d'une rotation de vitesse angulaire ω durant un temps t, c'est-à-dire θ = ωt on peut écrire

h' = fωt

En notant ε la hauteur d'un pixel et en reprenant l'hypothèse que le flou est invisible si la taille h' de la « tache » de flou est plus petite qu'un pixel, on peut écrire que le flou de bougé est invisible si

t < ε/(fω)

On retrouve ici l'approximation dite « de l'inverse de la focale », à savoir que pour éviter le flou de bouger,

« le temps de pose minimum a la même valeur numérique que l'inverse de la distance focale exprimée en millimètres. »

Cette approximation suppose que ε/ω = 1/1000 m·s·rad-1. On peut supposer que pour un photographe moyen, la vitesse ω de ses mouvements involontaires est constante, mais on voit que cette approximation dépend directement de la taille ε d'un pixel qui peut beaucoup varier d'un capteur à l'autre.

[ Posted on September 16th, 2019 at 21:22 | 2 comments | ]

Sunday, September 15th, 2019

Optique photo 4 : la sensibilité

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Categories: [ Science ]

Le bruit

Chaque pixel d'un capteur CCD d'appareil photo numérique est un transducteur qui transforme une quantité de lumière reçue Q en une différence de potentiel électrique u0 qui est proportionnelle à Q selon un facteur f :

u0 = fQ

Dans un situation idéale, une valeur donnée de Q devrait donner systématiquement la même valeur nominale u0. En réalité, à cause du bruit, des mesures répétées d'une même valeur d'exposition donneront des valeurs différentes de u

u = u0 + ε

où ε est une erreur de mesure aléatoire. Cela signifie que chaque mesure répétée de u aura une valeur différente de ε, mais aussi que deux pixels voisins qui sont exposés de la même manière donneront des valeurs de u différentes.

Si on considère qui le bruit est un bruit blanc (ce qui est probablement faux mais suffisamment similaire à la réalité pour être utile à cette explication), alors les valeurs de ε sont couramment proches de zéro (et donc u est proche de u0), mais ε peut parfois, plus rarement, être nettement plus grand que zéro et donc la valeur de u est nettement différente de u0.

La sensibilité d'un capteur numérique

Les valeurs typiques de u sont très petites et il est donc nécessaire de les amplifier avant de les numériser. Ainsi une valeur v de pixel (typiquement entre 0 pour la valeur la plus sombre et 255 pour la valeur la plus lumineuse) est obtenue en effectuant

v = Au si Au ≤ vmax
v = vmax si Au > vmax

où A est le facteur d'amplification. Comme la valeur de v ne peut dépasser vmax, on comprend que si l'amplification A choisie est trop élevé par rapport à u, l'intervalle de valeurs possibles pour un pixel n'est pas suffisant pour représenter la valeur correcte de ce pixel, et on arrive à la saturation.

En faisant varier A, on peut faire varier la « sensibilité » du capteur et obtenir des valeurs élevées de v (donc un pixel très lumineux) à partir d'une valeur faible de u (par exemple en photographiant dans une situation de faible luminosité).

Cependant, comme v contient aussi le bruit ε, ce dernier est amplifié de la même manière :

 v = Au0 + Aε

Ainsi, plus la « sensibilité » du capteur est élevée, c'est à dire plus le facteur d'amplification A est élevé, plus le bruit est élevé et devient perceptible pour l'observateur.

Par exemple pour une image d'un objet noir, on s'attend à ce que v soit proche de zéro pour tous les pixels même pour une grande valeur de A parce que u0 est justement proche de zéro. Mais il peut arriver que ε soit bien plus grand que u0, ce qui conduit à ce que la valeur v du pixel soit essentiellement égale à Aε. Ceci se traduit par des pixels brillants au milieu de pixels sombres, typiques du bruit des photos prises en faible lumière avec une sensibilité élevée.

Comparaison de capteurs

Dans des conditions d'éclairage uniforme dans l'espace et le temps d'une surface s pendant un temps t (le temps de pose d'une photo), on peut définir les grandeurs suivantes :

où Q est la quantité de lumière c'est à dire approximativement le nombre de photons qui arrivent sur la surface s. En combinant ces trois définitions, on obtient

Q = Hs

c'est à dire que la quantité de lumière qui arrive sur un pixel est proportionnelle à la surface de ce pixel. Autrement dit, à exposition H égale, un pixel plus grand reçoit une plus grande quantité de lumière qu'un pixel plus petit.

En reprenant définition de u0 plus haut, on a

u0 = fHs

et donc, en ignorant pour le moment le bruit ε on a

v = AfHs

Ainsi, pour obtenir la même valeur v avec deux capteurs (capteur 1 et capteur 2) dont les pixels ont respectivement des surfaces s1 et s2, on a besoin d'un facteur d'amplification A1 sur le capteur 1 et A2 sur le capteur 2 tels que

A2 = A1s1 / s2

On a vu plus haut que le bruit est amplifié. Cela se traduit par

A2ε = A1εs1 / s2

c'est à dire que le bruit dans l'image obtenue par le second capteur est s1 / s2 fois plus élevé que le bruit dans l'image obtenue par le premier capteur.

Qualitativement, cela signifie que pour obtenir deux photos exposées de manière identiques avec deux appareils différents, l'un muni d'un capteur à grands pixels et le second muni d'un appareil à petits pixels, celui dont les pixels sont petits a besoin d'un facteur d'amplification plus élevé et produit donc une image plus bruitée.

Sensibilité

La sensibilité est définie par S = H0 / H où H0 est une valeur d'exposition de référence.

Un photographe s'attend à ce que lorsqu'on prend la même photo avec deux appareils (dont les capteurs sont équivalents à l'exception de la taille des pixels, et donc de leur nombre), l'image obtenue est exposée de la même façon (en supposant que la distance focale, le nombre d'ouverture, le temps de pose et la sensibilité sont les mêmes). Une conséquence est que les facteurs d'amplification des deux appareils doivent être différents puisque les tailles des pixels sont différentes, et que l'image de l'appareil dont les pixels sont plus petits contiendra donc plus de bruit.

Réciproquement, si on cherche à produire avec les deux appareils des images contenant une quantité de bruit identique, il faut changer les paramètres d'exposition de l'appareil produisant le plus de bruit de sorte à

  • diminuer la sensibilité S d'un facteur s1 / s2 afin d'utiliser le même facteur d'amplification dans les deux appareils, et
  • augmenter l'exposition H d'un facteur s1 / s2 afin de compenser la diminution de la sensibilité.

On peut parvenir à ce dernier point en augmentant le temps de pose ou en augmentant la surface de la pupille du diaphragme d'un facteur s1 / s2.

Selon le modèle simplifié utilisé ici, à tailles de capteurs égales, un capteur de plus haute définition (donc comportant un plus grand nombre de pixels) produira donc des images contenant plus de bruit.

Si on décide de considérer qu'avec une exposition de référence Href la sensibilité Sref maximale d'un capteur de référence dont les pixels ont une surface sref représente une quantité de bruit de référence, on peut considérer qu'à quantité de bruit identique, un capteur de plus haute définition dont les pixels ont une surface s aura donc une « sensibilité équivalente » Seq plus faible nécessitant une exposition Heq. En effet Sref = H0 / Href et Heq = sref / sHref, donc

Seq = Srefs/sref

Il faut noter que la sensibilité équivalente, qui dépend de la surface des pixels, n'a rien à voir avec la focale équivalente qui dépend des dimensions du capteur et non de celles de ses pixels.

[ Posted on September 15th, 2019 at 17:22 | 2 comments | ]

Saturday, September 14th, 2019

Optique photo 3 : la perspective

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Categories: [ Science ]

Le grandissement

optique_photo_1

La hauteur h' de l'image d'un objet de hauteur h situé à une distance l d'un objectif de distance focale f est donnée par h' = hf / l. Le rapport des tailles entre l'objet et l'image s'appelle le grandissement γ, et en supposant que f est négligeable devant l, γ est défini par

γ = h' / h = f / l

Le grandissement dépend donc uniquement de la distance à l'objet et de la distance focale de l'objectif.

La perspective

On peut donner une valeur chiffrée à la perspective en comparant les tailles des images de deux objets de même taille mais situés à des distances différentes. En supposant que la profondeur de champ est suffisante pour que les images des deux objets soient nettes, on peut noter h'1 et h'2 les hauteurs de ces images et l1 et l2 les distances des objets, puis calculer le rapport h'1 / h'2

h'1 / h'2 = l2 / l1

On constate que le rapport des hauteurs des images dépend seulement du rapport des distances des deux objets. En particulier, il ne dépend pas de la distance focale de l'objectif (si cette dernière est négligeable devant les distances aux objets).

Une conséquence de ce constat est qu'un objectif à longue focale n'« écrase » pas davantage les perspectives qu'un objectif à courte focale (si on ignore les déformations sur les bords de l'image dûs aux courtes focale). Cette conclusion est cohérente avec le fait qu'un objectif à courte distance focale associée à un capteur de petite taille donnera la même image (avec la même perspective) qu'un objectif de plus longue distance focale associé à un capteur plus grand (lorsque le rapport des distance focales de ces deux objectifs est égal au crop factor des deux capteurs).

[ Posted on September 14th, 2019 at 14:25 | 1 comment | ]

Friday, September 13th, 2019

Optique photo 2 : la profondeur de champ

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Categories: [ Science ]

Le flou

optique_photo_2

Lorsque la mise au point d'un système optique (simplifié) a été effectuée, l'image d'un objet ponctuel A situé à une distance l de l'objectif est un point A'. La mise au point est cependant imparfaite pour un objet B situé à une distance L plus (ou moins) loin que l : les rayons lumineux convergent en B' au lieu de A', continuent leur course et vont s'étaler autour de A' dans une zone de largeur ε. Sur le capteur d'un appareil photo, l'image B' de B est donc une tache circulaire dont le diamètre ε dépend de L, de la distance de mise au point l, de la distance focale f de la lentille et du diamètre d de la pupille, c'est-à-dire le trou circulaire par lequel la lumière entre dans la lentille, délimitée par le diaphragme. On considère ici que la pupille est suffisamment grande pour négliger les effets dûs à la diffraction.

On considère que l'image d'un point est net lorsque l'observateur (humain, en général) est incapable de faire la différence entre un « vrai » point et une tache. Le diamètre ε maximal d'une telle tache est lié au pouvoir de séparation de l'½il de l'observateur, qui est lié non seulement à la taille de la tache mais aussi à la distance à laquelle se situe l'observateur : plus l'observateur est éloigné, plus il est difficile de distinguer une petite tache d'un « vrai » point. La valeur de cet ε maximal n'est pas universelle, car elle dépend in fine de l'affichage de la photo (sur écran ou en tirage papier) et de la manière dont on regarde cette photo : il sera par exemple plus facile de remarquer un flou en regardant de près une image tirée en grand format qu'en regardant de loin une image tirée en petit format.

La profondeur de champ

D'après l'article de Wikipedia sur la Profondeur de champ, les limites de distance où les objets donneront une image considérée comme nette, une fois choisie un valeur ε maximale sont

L = l / (1 ± εl/df)

Les objets dont la distance est située entre ces limites auront une image considérée comme nette, car la tache de diamètre ε est trop petite pour être distinguée d'un « vrai » point net. On remarque que pour photographier un objet donné situé à une distance l en utilisant un objectif de distance focale f donnée, ces deux valeurs limites ne dépendent que du diamètre de la pupille, et pas du tout de la taille du capteur de l'appareil photo. Plus précisément, si les pixels du capteur sont plus grands que ε il n'y aura aucun flou car la tache circulaire sera contenue dans un seul pixel. Si les pixels sont plus petits que ε mais que les pixels à l'affichage de la photo (sur écran ou sur papier) sont plus grands que la tache circulaire, alors il n'y aura aucun flou à l'affichage, mais on pourra voir le flou en zoomant dans l'image (ce qui revient à dire que les pixels d'affichage deviennent plus petits que la tache circulaire).

Le nombre d'ouverture et la focale équivalente

La taille d de la pupille est exprimée dans la pratique non pas en millimètres, mais en fraction 1/N de la distance focale de l'objectif : d = f / N. N est le nombre d'ouverture et vaut donc N = f / d.

Si considère qu'en utilisant un objectif de distance focale f sur un capteur de taille différente on a une distance focale équivalente feq = kf, alors on peut écrire

N = feq / kd

où k est appelé « crop factor », soit

kN = feq / d

En introduisant la notion de nombre d'ouverture équivalent Neq défini par Neq = kN, la formule précédente devient

Neq = feq / d

qui est a la même forme que la définition du nombre d'ouverture, mais en utilisant le nombre d'ouverture équivalent et la focale équivalente.

Hyperfocale

On peut définir F = df/ε. En remplaçant le diamètre de la pupille d par son expression utilisant la distance focale et le nombre d'ouverture, on obtient

F = f2/εN

Les distances limites de la profondeur de champ deviennent alors

L = lF / (F ± l)

La distance hyperfocale F est la distance l minimale pour laquelle tous les objets entre F/2 et l'infini sont nets. Un corrolaire est que lors d'une mise au point à l'infini, tous les objets situés au delà d'une distance F sont nets.

Si on utilise la distance hyperfocale comme unité de distance de mise au point photographié, on peut représenter, de manière générique pour n'importe quelle combinaison de capteur, distance focale et nombre d'ouverture, les distances limites entre lesquelles les objets forment des images nettes (en supposant toujours que la distance focale est négligeable par rapport à la distance de mise au point).

En notant l = qF, on peut exprimer L en fonction de q et F:

L = qF / (1 ± q)
optique_photo-profondeur_de_champ_1

Le diagramme ci-contre indique les limites minimum et maximum de netteté pour une mise au point égale à une fraction de la distance hyperfocale F. On remarque que vers 0,9F, la limite maximum de netteté est déjà à 10F, et tend vers l'infini lorsqu'on se rapproche de 1F. Si on fait la mise au point à une valeur supérieure à F, la limite maximum de netteté reste à l'infini alors que la limite minimale n'augmente comparativement que très peu.

optique_photo-profondeur_de_champ_2

Le diagramme ci-contre représente les limites de netteté pour des distances de mise au point inférieures à 0,5F. On remarque que lors d'une mise au point à 0,5F, les objets situés au delà de F ne sont plus nets.

[ Posted on September 13th, 2019 at 18:54 | 4 comments | ]

Tuesday, September 10th, 2019

Optique photo 1: l'angle de champ

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Categories: [ Science ]

Le modèle simplifié

optique_photo_1

On peut simplifier un objectif d'appareil photo en le considérant comme une lentille mince de centre O et de distance focale f. L'axe optique de la lentille passe par O et est perpendiculaire à cette dernière. Les points F et F', situés de part et d'autre de la lentille à une distance f sont les points focaux de cette dernière. L'objet AB, situé à une distance l de la lentille donne alors une image A'B' sur le capteur de l'appareil photo. La hauteur de l'objet est h et la hauteur de l'image est h'.

Les règles de l'optique géométrique sont simples :

  • les rayons lumineux passant par le centre O de la lentille ne sont pas déviés, donc AA' et BB' sont des lignes droites ;
  • les rayons lumineux qui arrivent sur la lentille parallèlement à l'axe optique ressortent de la lentille en passant par le point focal F', tel le rayon BCB' ;
  • les rayons lumineux qui arrivent sur la lentille en passant par le point focal F ressortent parallèlement à l'axe optique, tel le rayon BDB'.

L'angle de champ

L'angle sous lequel l'objectif voit l'objet AB est l'angle θ. On a tan θ = h / l et tan α = h / (l - f) =  h' / f. On en déduit que tan θ = (l - f)h' / lf, que l'on peut simplifier (lorsque f est négligeable devant l) en tan θ = h' / f.

Si on considère que l'image A'B' et son symétrique (qui n'est pas représenté sur le diagramme) sont ensemble suffisamment grands pour couvrir l'intégralité de la diagonale du capteur, on sait que la hauteur h' de l'image représente la moitié de la diagonale d du capteur. Cela signifie que l'angle θ est la moitié de l'angle de champ du système objectif-capteur. On a alors

tan(angle de champ / 2) = d / 2f

Ceci montre que l'angle de champ dépend seulement de la distance focale de l'objectif et de la taille du capteur (lorsque f est négligeable devant l, soit en pratique lorsque la distance à l'objet est au moins dix fois plus grande que la distance focale).

Angle de champ et taille de capteur

Pour deux capteurs de tailles différents et avec un objectif donné, le rapport des tangentes des demi-angles de champ est égale au rapport des tailles des capteurs. Pour des angles de champ de moins de 53° (c.-à-d. lorsque la valeur de la tangente est proche de la valeur de l'angle, en radians), c'est à dire lorsque la distance focale est plus grande que la diagonale du capteur, on peut faire l'approximation que le rapport des angles de champ est égal au rapport des tailles des capteurs, avec une erreur de moins de 10%, soit

angle1 / angle2 = diagonale1 / diagonale2

Ainsi par exemple un capteur deux fois plus grand qu'un autre capteur donnera un angle de champ deux fois plus grand lorsque ces capteurs sont munis d'objectifs de même distance focale.

Si on veut une approximation qui fonctionne aussi pour de grands angles, il devient nécessaire de comparer les tangentes des demi-angles de champ, par exemple

tan(angle1 / 2) / tan(angle2 / 2) = diagonale1 / diagonale2

ou de faire intervenir les arctangentes, par exemple

angle1 / angle2 = arctan(diagonale1 / 2f) / arctan(diagonale2 / 2f)

ce qui est nettement moins pratique à évaluer de tête.

La distance focale équivalente

Supposons que l'on a un capteur de référence dont la diagonale est dref (par exemple un capteur 24×36 mm) et un objectif de distance focale f.

Lorsqu'on utilise cet objectif avec un autre capteur dont la diagonale est d, on a un angle de champ θ défini par

tan(θ / 2) = d / f

On veut alors savoir quelle serait la distance focale équivalente feq d'un objectif fictif donnant le même angle de champ θ si on utilisait cet objectif fictif avec le capteur de référence. On a

tan(θ / 2) = d / f =  dref / feq

et donc

feq = f × dref / d

(cette valeur est correcte si f est négligeable par rapport à l et par rapport à ld / dref).

Comparée à l'angle de champ, le calcul de la distance focale équivalente n'est pas limitée à des angles de champ suffisamment petits. La distance focale équivalente fait cependant appel à un facteur caché, la taille du capteur de référence.

[ Posted on September 10th, 2019 at 22:47 | 3 comments | ]

Wednesday, September 4th, 2019

CAPTCHA

Categories: [ Blog ]

For years, the comments were systematically rejected on the blog because most of them were spam, and I didn't have a good way of filtering them out. A CAPTCHA would have been a solution, but I read that the ones based on warped text are easily defeated, and I didn't want to bother with images anyway.

I recently rediscovered the idea of a CAPTCHA based on arithmetics, which I now have implemented. The poster of a comment must do a simple arithmetics operation involving two single digit numbers and one operator. It should not be difficult to defeat, but arithmetics CAPTCHAs are apparently uncommon, so it is likely that most bots don't implement such solvers. It has already repelled a couple of spam comments today.

[ Posted on September 4th, 2019 at 22:34 | no comment | ]

Monday, August 12th, 2019

Roulette et Martingale

Translation: [ Google | Babelfish ]

Categories: [ Science ]

Supposons qu'on joue à la roulette dans un casino. La roulette est honnête, donc tous les chiffres ont la même probabilité de sortir. Cette roulette comporte 18 numéros rouges, 18 numéros numéros noirs et un zéro qui n'est ni rouge ni noir. Les paris se font par tranche de 1 Euro, et sont limités à 100 Euros. On entre au casino avec 127 Euros en poche, et on parie toujours sur le rouge et on ne réinvestit pas ce qu'on a gagné, c'est à dire qu'on arrête de jouer une fois qu'on a perdu les 127 Euros de départ.

À chaque jeu on a donc p = 18/37 chances de gagner (soit un peu moins d'une chance sur deux).

Si on fait n = 127 paris de 1 Euro, la probabilité de gagner k fois (0 <= k <= n) est de P(X = k) = Comb( n, k) p k (1 - p) n - k (il s'agit d'une Loi binomiale). Les gains après k victoires sur n parties sont de 2 k - n. On peut donc calculer la somme des P(X = k) pour tous les k tels que 2 k - n > 0, ce qui donne la probabilité de quitter le casino avec en poche plus d'Euros que lorsqu'on y est entré. Cette probabilité est de 0,38, c'est à dire qu'on a 38% de chance de quitter le casino avec au moins 128 Euros et au plus 254 Euros. Cela signifie aussi qu'on a 62% de chance de n'avoir rien gagné, voire perdu tout ou partie des 127 Euros initiaux. En fait, on peut s'attendre, en moyenne, à perdre 3,43 Euros.

Jouer une martingale consiste à doubler la mise si on perd, afin que le gain couvre les pertes passées. La table de roulette ayant une limite de 100 Euros, on peut donc miser au plus m = 7 fois de suite en doublant la mise à chaque jeu, soit 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 Euros (ça tombe bien, c'est justement la somme qu'on avait en entrant au casino). La probabilité de gagner au bout de i jeux (donc de perdre i - 1 fois puis de gagner une fois) est P(X = i) = (1 - p) i - 1 p (il s'agit d'une Loi géométrique). On peut donc calculer la somme de ces probabilités pour i = 1 … m, qui représente la probabilité de gagner 1 Euro en utilisant la martingale. Cette probabilité est de 1 - (1 - p) m = 0,99. Cela signifie qu'on a 99% de chance de gagner 1 Euro, et donc 1% de chance de perdre 127 Euros. On peut donc s'attendre à perdre en moyenne 0,21 Euro.

Si on joue la martingale plusieurs fois de suite aussi longtemps que l'on ne perd pas, on peut espérer gagner à répétition, mais la probabilité de ne jamais perdre diminue à mesure que l'on joue (il s'agit encore une fois d'une loi géométrique, cette fois avec avec p = 0,99). Si on parvient à gagner en jouant la martingale au moins 128 fois de suite, alors on est certain qu'au moment où la chance tourne et que l'on perd, on ne perd que 127 Euros, et donc qu'on quitte le casino avec en poche au moins 1 euro de plus que lorsqu'on y est entré. Cette probabilité est de 0,298. Cela signifie qu'on a 29,8% de chance de sortir du casino avec au moins 128 Euros en poche. Cela signifie aussi qu'on a 70,2% de chance de perdre entre 0 et 127 Euros. En fait, on peut s'attendre à perdre en moyenne 21,8 Euros. Si on compare cette méthode avec la précédente qui consiste à miser 127 fois 1 Euro sur le rouge, on voit que le chances de ne pas perdre d'argent sont plus élevées si on n'utilise pas la martingale, et que les gains moyens sont moins mauvais lorsqu'on n'utilise pas la martingale (ils sont cependant toujours négatifs, c'est à dire qu'on y perd toujours de l'argent, en moyenne).

Jouer la martingale a cependant une utilité : la probabilité de gain élevé est plus grande avec la martingale que sans. Par exemple la probabilité de gagner au moins 10 Euros est de 11,6% sans martingale et 27,1% avec la martingale. Pour 20 Euros ou plus, la probabilité est d'à peine 1.9% sans martingale et de 24,7% avec la martingale, et on a encore environ 10% de chances de gagner au moins 115 Euros avec la martingale alors que cette probabilité est de moins d'une sur cent milliards sans martingale.

[ Posted on August 12th, 2019 at 07:31 | no comment | ]

Saturday, June 22nd, 2019

Nouvelle table

Translation: [ Google | Babelfish ]

Categories: [ Cooking/Nouvelle cuisine ]

nouvelle_cuisine_2019-06-22

[ Posted on June 22nd, 2019 at 13:02 | no comment | ]