Blog & White

Largo rencontre un criminel russe qui lui apprend que le groupe W est coté sur un marché souterrain et qu'il a machiné la perte de valeur du groupe W afin de gagner de l'argent sur ce marché là, où il avait parié sur la baisse de la cotation du groupe W. Aidé d'une agent du FSB infiltrée chez le criminel, Largo s'enfuit et trouve refuge chez un homme d'affaires Russe avent de rentrer aux États-Unis et de refiscaliser son groupe. Un peu plus tard, il apprend que l'homme d'affaires Russe est à l'origine du complot, car ce dernier avait parié sur la hausse de la cotation du groupe W sur le marché souterrain et voulait d'abord faire baisser la cotation autant que possible.

Harrison est élu maire de Golden City. Lors de la fête, Solo est tué par une bande de gosses de riches qui voulaient s'amuser avec un pauvre. Ses amis enquêtent pour trouver ce qui lui est arrivé. En parallèle, les opposants politiques de Harrison révèlent à la presse que l'une de ses entreprises en Russie fait du trafic d'organes volés sur des cadavres. Harrison se rend sur place, se frotte à la mafia locale qui le fait mettre en prison lorsqu'il refuse de continuer le trafic. Lorsque le criminel torture Amber, Il fait mine d'accepter sa proposition, mais le fait assassiner sitôt rentré à Golden City.

Pour sauver le village troll d'une boule de feu tombant du ciel, Waha arrête le temps dans tout le village. Elle part alors à la recherche d'un dragon de neige pour éteindre le feu avant de laisser le temps reprendre son cours. Elle trouve un dragon dans une station de sports d'hiver, mais ce dernier est lié par contrat à la station et ne peut la quitter. Waha parvient à détruire le contrat, à faire venir le dragon au village et à sauver les trolls.

Dans une première partie, Yoko, Emilie et Bonnie repartent en 1935 pour sauver deux enfants d'un accident sur un passage à niveau. Dans une deuxième partie, Yoko et Emilia doivent convoyer par avion deux momies égyptiennes qu'un lord Anglais veut renvoyer en Égypte. Emilia apprend de Dinah, la pupille du lord, que la deuxième momie est en fait le corps de l'épouse du lord que ce dernier a tuée et embaumée trois ans plus tôt avec l'aide forcée de Dinah. Lors du vol, elles découvrent à bord de l'avion une bombe dont elles se débarrassent et de preuves que le lord est un espion travaillant pour les Chinois. Ayant fait demi-tour, elles sont attaqués à l'atterrissage par le lord qui y perd la vie.

Arrivé à Hong Kong, Blake part à la recherche de Mortimer. Pendant ce temps, ce dernier est transporté par ses ravisseurs vers leur camp en Chine continentale. Il apprend que le chef de ces derniers veut utiliser le texte caché dans un objet historique volé pour le légitimer comme dernier descendant d'un empereur du passé qui aurait obtenu la vie éternelle mais aurait disparu après avoir refusé d'em payer le prix. Durant sa captivité, Mortimer retrouve Nasir, très malade, et pour le soigner s'enfuit avec la complicité d'un malfrat qui veut un trésor mentionné dans la légende de l'empereur. Après un périple ils trouvent l'empereur, toujours en vie, et Mortimer parvient à trouver le remède magique pour Nasir. Il est recueilli par hasard par Blake, parvient à guerir Nasir, puis tous s'enfuient à bord de l'Aile Rouge que le chef des criminels avait récupérée et que Mortimer était censé réparer lors de sa captivité. Pendant ce temps, Olrik vole le prototype secret Britannique, mais échappe à sa destruction par les autorités.

Deux Arvernes confient Adrénaline, la fille de Vercingétorix, au village Gaulois pour la protéger des Romains qui veulent la capturer. Adrénaline, qui refuse de continuer à servir aux Gaulois et aux Romains de prétexte pour se faire la guerre, s'enfuit sur le navire des pirates. Le navire est attaqué d'abord par un renégat Gaulois au service des Romains, puis par les Romains eux-mêmes. Elle finit par partir sur le navire d'un jeune Breton, affrété par les Arvernes, et qui devait à l'origine la mettre à l'abri en Bretagne.

One night, Kevin is woken up in his room by a knight in armor coming out of his cupboard, who soon disappears without a trace. The next night, ready with a Polaroid camera, a band of dwarves appear and take him with them to the time of Napoléon's Italian campaign. They manage to loot Napoléon's treasure and use a map they have stolen from the Supreme Being to escape to the time of Robin Hood (who takes all their loot to give to the poor). Meanwhile, the Evil One is influencing the dwarves in order to attract them to his castle and steal the map. Escaping from Robin Hood's time, Kevin is sent to Mycenaean Greece where he meets Agamemnon, who takes him as an adoptive son. The dwarves reappear as a group of entertainers, steal some treasure and take the boy with them aboard the Titanic. After the ship has sunk, Evil transports the group to his Time of Legends, where they are rescued by the ship of an ogre. They escape the giant who carries the ship as his hat, and finally arrive at the Fortress of Ultimate Darkness, where Evil takes the map and locks them up in a cage hanging above a bottomless pit. The group manages to escape by swinging from the cage to the edge of the pit, finds Evil's headquarters, steal the map and split. The dwarves go away using the map while Kevin attempts to distract Evil, until the band comes back from various time periods with weapons and warriors. They prove unsuccessful and all seems lost when Evil suddenly bursts into flames. The Supreme Being appears and explains he had influenced the dwarves into stealing the map so that they would test the abilities of Evil (yet another creation of the Supreme Being). The dwarves collect the ashes of Evil, and then leave with the Supreme Being, leaving Kevin alone. Kevin then wakes up in his bed, the house on fire, and is taken out by a fireman. His parents then discover one smouldering remain of Evil, touch it and disappear. The whole world then gets rolled up into the map.

Nice stout, quite sweet. Contains barley and oatmeal.

Samuel Smith, Tadcaster, North Yorkshire, England. 5% alcohol

Monsieur Hulot passe ses vacances à la mer. Il parle peu, se montre maladroit et commet bourde sur bourde (il repeint un canot qui se casse en deux et ressemble à là gueule d'un monstre marin ; il crève un pneu de son tacot sur le chemin d'un pique-nique et se retrouve dans un cimetière durant un enterrement ; il se perd la nuit dans une cabane remplie de feux d'artifices et les fait tous brûler). À la fin des vacances tout le monde quitte l'hôtel ; il ne s'est rien passé de notable.

“palate of beech nuts, almonds and walnuts”

Maybe a bit nutty, but just another ale. Contains malted barley.

Samuel Smith, Tadcaster, North Yorkshire, England. 5% alcohol

I have over forty Ni-MH low self-discharge rechargeable batteries (mostly Eneloops, and a few Vartas and GPs) and I have noticed that some of them tend to not keep the charge very well. In order to find out which ones are worth throwing away to be recycled, I needed a device that would measure their capacity.

The principle is very simple: recharge the battery, discharge it through a resistor with a known value, measure the current while it discharges, and integrate the current over time. This will give you the battery's capacity. A few things need to be taken into account: how do you know that a battery is depleted and what discharge current should be used? From what I could gather by reading a few Web forums, the battery is considered to be depleted when its voltage goes below 1.0 V or 0.9 V (I settled on 1.0 V), and the current should be such that the battery discharges in about five hours (for a 2000 mAh battery, that would be about 400 mA). If the current is too high, the battery's voltage while it is discharging will be very close to 1.0 V already at the beginning of the process and the capacity measurement will probably be biased. I noticed this in the first iteration of the device where I had a 1 Ω resistor and a 1 A current, and decided to change for a 3.3 Ω resistor after reading about the “discharge in 5 hours” rule.

The device

The prototype I built is very simple. The battery discharges through a 3.3 Ω ±1% 0.6 W resistor, and the voltage is measured using the Arduino's ADC (more on that below). A MOSFET (STMicroelectronics VNP35NV04-E, quite expensive but it turns fully On with only 2.5 V_GS and its On resistance is only 13 mΩ, which is below the tolerance of the main resistor and the accuracy of what the Arduino can measure, so it can simply be ignored) controls the discharge and cuts the current once the “depleted” threshold has been reached to prevent damaging the battery. A 10 kΩ resistor acts as a pull-down for the MOSFET's gate, and a 110 Ω limits the gate current (whether it's really needed or not seems to depend whom you ask on Web forums, but since I had some lying around I decided to use them). There are two instances of the circuit on the prototype board, so I can test two batteries in parallel.

Accuracy of the Arduino's ADC

The Arduino's ADC has a maximum precision of 10 bits, meaning that the value read from e.g., A0 is translated to a value between 0 and 1023 included, by comparing A0 to a reference voltage that by default is the Arduino's supply voltage. It is however possible to get (reasonably) accurate voltage measurement with the Arduino (see this Web post titled Secret Arduino Voltmeter) by measuring first the supply voltage accurately against the ATMega328's internal band-gap reference. To do so, you need to first measure the band-gap reference's correct value (it's about 1.1 V, it's very stable over time and temperature, but it's exact value differs from one ATMega328 to the next).

The process therefore goes like this.

1. With a trusted voltmeter, measure the Arduino's supply voltage V_CC as accurately as possible.
2. Using the code snippet in the blog post, measure the band-gap's value with the ADC; that gives you a number N_ref. For better accuracy, compute the arithmetic mean of 1000 measurements to get rid of the random fluctuations in the measurement.
3. Calculate V_ref = N_ref × V_cc / 1024 (and not 1023 as stated in the blog post). In my case, V_ref = 1.089 V ±0.001V.
4. Hardcode the V_ref you have found in your Arduino program.

Then when you want to actually measure a voltage V with the Arduino's ADC, do as follows.

1. Measure N_ref with the ADC and compute the value of V_cc = V_ref × 1024 / N_ref (again, take the average of 1000 measurements).
2. Measure N with the ADC and compute the value V = N × V_cc / 1024 (once again, average over 1000 measurements).

If my uncertainty calculations are correct, I get a 0.12% uncertainty on the value of V_cc (compounding the uncertainty of the voltmeter and the ADC), which is less than the 1% uncertainty on the discharge resistor value. I tried to accurately measure the 3.3 Ω resistor value, but my amperemeter is not accurate enough for currents above 200 mA, so that's the best I can hope to achieve.

Take a look at the code if you want to know the details of the implementation (especially computing in millivolts in order to use only integers instead of floats).

What about those batteries, then?

I measured the capacity of 27 batteries so far: 2 GPs, 3 Vartas and 22 Eneloops (6 of generation 1, 7 of generation 2, 2 of generation 3 and 7 of generation 4). All have a nominal capacity of 1900 mAh.

Both GPs have a capacity of 1 mAh, so they are useful only as paperweights. The Vartas have capacities of 870, 450 and 250 mAh, so they are only marginally more useful than the GPs.

One Eneloop is in really bad shape (200 mAh), but the others have capacities between 1660 and 1900 mAh, with a mean of 1790 mAh.

This is a typical battery, in good shape (1890 mAh). The voltage quickly drops to around 1.2 V and remains stable for a while before dropping again.

This one is definitely good for nothing (200 mAh). I remember accidentally dropping batteries on the floor a couple of times in the past, maybe this one suffered from it?

This one is a first generation eneloop, bought probably around 2011. It still has a capacity of 1660 mAh, but the shape of the curve is different from the typical one, maybe due to old age?

Sara and Beethoven spend the summer at Sara's uncle Freddy in a small town called Quicksilver. During at stroll in the mountain, Beethoven returns with an old 10 dollar bill which is quickly identified as part of the treasure hidden by a bank robber couple in the 1920s, and is worth a lot more to collectors. Soon many inhabitants go searching for the loot, while Sara gets repeatedly threatened by someone who obviously doesn't want her to find the treasure. Searching for information about the robbers, Sara and her friend Garrett start by suspecting the grumpy librarian, but they eventually manage to get Beethoven to lead them to the treasure (in the old mine) where they are attacked by the head of the local chamber of commerce; the librarian is innocent even if he's the direct descendant of the robbers.

Abby's career in astrophysics comes to an abrupt end when her dean discovers she had she appears in a video with her friend Erin (who does scientific research on paranormal phenomena in a lesser university and gets kicked out as well) documenting an authentic apparition in an old New York manor. With the help of Erin's lab engineer Jillian, they decide to do proper scientific research on the topic, setting up their laboratory above a Chinese restaurant. They are called by Patty, an MTA employee who also witnesses an apparition in the metro, and discover that the ghost has been “called” by an electronic device. Jillian develops gadgets capable to grab a ghost and eventually trap it. They get into trouble when a debunker gets killed by the ghost he released from the trap, and are told by the mayor that supernatural activity is usual in New York, under the jurisdiction of the DHS, and that they must keep it quiet. The team eventually discovers that a man called Rowan is planting the devices is specific locations to eventually cause a paranormal catastrophe. They locate the main device in the basement of a hotel, but cannot prevent Rowan from dying of electrocution. Rowan killed himself on purpose, to take control of the army of ghosts that he releases. While the police and DHS agents are subdued by the ghosts, the Ghostbusters manage to go through and throw their car and its nuclear generator into the vortex coming out of Rowan's device, effectively closing it.

“Scottish triple malts… chocolate malts… fresh roasted aroma… hint of coffee… dark chocolate complexity… hopped with Challenger”

Roasted yes, chocolate not really. Contains oats and malted barley.

Belhaven Brewery Company Ltd., Dunbar, Scotland. 4.2% alcohol.

Beethoven meets a female St. Bernard named Missy, just before she is kidnapped by Regina, the ex-wife of her owner who wants to pressure her ex-husband for money. Beethoven manages to find Missy and they have puppies together, before Missy is taken again. The Newton children find and raise the puppies in the absence of their mother, at first hiding them from their grumpy father. Then the whole family and the dogs go away in the mountains for the 4th of July. There Beethoven finds Missy again (her kidnapper happens to spend her vacation in the same place as the Newtons) and escapes with her into the mountain. Regina steals the puppies from the Newtons and then goes after the two escaped dogs. She is followed by the Newtons who eventually catch up with her, defeat her and recover the puppies with Beethoven's help.

“smokey flavours and hints of moorland heather”

Not distinctly smokey, a bit sweet, not bad. Contains malted barley, malted wheat, peat malted barley.

Little Valley Brewery, Hebden Bridge, West Yorkshire, England. 5.5% alcohol.

While kidnapping puppies for an evil scientist who uses dogs as test animals, a St. Bernard puppy escapes and is adopted by the Newton family, despite the opposition of the grumpy father. The children name him Beethoven, and he starts by ruining the house on a regular basis. While growing up, Beethoven also helps the family in various ways. On a trip to the veterinarian, the latter (who is the evil scientist from the beginning) devises a scheme to take the dog. He visits the family, simulates being attacked by Beethoven, and convinces the father to get the dog put down. The family discovers that their dog is not actually going to be euthanized, and follow the veterinarian to his lair, where Beethoven has managed to escape and causes chaos among the villains. Having been alerted, the police arrives and arrests the culprits, and the Newton adopt all the other dogs that were prisoner from the villains.

“tropical fruit… hop bitterness”

Just another beer, quite good. Contains malted barley and wheat.

The Ilkley Brewery co., Ilkley, West Yorkshire, England. 5.5% alcohol.

For quite a while I have been dreaming about a lamp for reading in bed that would be equally usable when lying on my belly or sitting with my back on the wall. It would be wide enough to uniformly light an open comic book (slightly larger than an A3 paper sheet) without causing a glare on the paper, meaning that it should light from above. Finally it must be made of a strip of warm white LED, its brightness must be adjustable and must consume no power when it's off.

And because making things is fun, I wanted to make it myself. There it is.

It's made of 60 cm of LED strip glued on the inside of a 15×15 mm aluminium profile, and it's powered by a 12 V, 500 mA power supply, via a dimmer (that has also silly features like strobe effect, blinking and pulsating, but that's no good for reading). The power supply is connected to the mains via a wire equipped with a switch (that effectively cuts the power to the power supply when it's off).

To meet the requirement of reading in two different positions, the angle of the aluminium profile can be changed by rocking it. I had to solder thinner wires to the LED strip to prevent it from acting like a spring and holding the lamp back when rocking it.

Brian is born one stable away from Jesus. As an adult, he falls in love with Judith, who is a member of the People's Front of Judea. Brian joins the rebel organization, and after a failed attempt against Pontius Pilatus, he barely escapes the clutches of the Roman leader. In an attempt to hide from the Roman legionaries who chase him, he pretends to be one of the many prophets who speak on the street, but for some reason he attracts an audience who follows him everywhere. Brian is eventually captured by the Romans and sentenced to be crucified. As is the tradition, Pilatus asks the crowd which one of the condemned men should be released, and Brian's name is called. Alas, due to a misunderstanding, another man is released, and all of Brian's friends acknowledge that his martyr will be a great help to the People's cause, and leave him to die.

“kuusenkerkällä ja hunajalla maustettu Barley Wine”

Tuoksuu ruisleivältä, tosi makea ja maistuu vähän kuusenkerkältä. Sisältää ohramallasta ja ruismallasta.

Panimoyhtiö Hiisi, Jyväskylä, Suomi. 10.5% alkoholia.

“American hops… British malt”

Very sweet, kind of fruity and not too strong. Quite good. Contains malted barley and wheat.

Swannay Brewery, Orkney, Scotland. 8.0% alcohol.

Robert Langdon wakes up in hospital in Florence and has lost his recent memory. He is attacked by a killer dressed as a policewoman, and makes a narrow escape with Sienna Brooks, the doctor who was treating him. In his belongings he discovers a device that projects a representation of Dante's Inferno, in which a message has been hidden. They discover that the recently deceased billionaire Zobrist has created a viral weapon meant to solve overpopulation by killing a large portion of the world's population. Escaping agents of the WHO, they follow clues in Florence and Venice. They are contacted by an agent of WHO who reveals himself to be a freelancer trying to get the virus and resell it, and are saved by a man hired originally by Zobrist who has changed allegiance when he discovered the billionaire's plan. He reveals to Langdon that the amnesia has been medically induced and that the whole story is a setup to put Langdon on the track of the virus after Zobrist's death. Langdon finally finds a clue about the virus being in the Hagia Sofia in Istanbul, after which Brooks, who reveals herself as Zobrist's lover, decides to ensure it will be released. Langdon and the real WHO agents finally locate the virus in a water reservoir and manage to contain it just before it was due to be released.

Tosi makea ja väkevä, maistuu kahville ja paahtanelle. Sisälttäa ohramallasta.

Panimoyhtiö Hiisi, Jyväskylä, Suomi. 12.0% alkoholia.

At CERN, a small container of anti-matter (yes, I know) is stolen while the word mourns the death of the Pope. Soon after, Robert Langdon is asked by the Vatican police to help in a case of kidnapping of the four cardinals who are the favourites in the upcoming election of the next Pope. The kidnapper promises to kill them at an hour interval between 8PM and 11PM, and that at midnight the antimatter would explode and destroy the Vatican and most of Rome. The clues indicate that he belongs to the Illuminati, a society of early scientists persecuted by the Church for their teachings and who has gone underground since then. In the meanwhile, the remaining cardinals start the conclave to elect the new Pope. Langdon deduces that the kidnapped cardinals will be killed at the location of a secret path of four steps (related to the four elements) across Rome that leads to the Illuminati's secret meeting place. They also find a proof that the Pope had been murdered. Langdon, Vittoria (a physicist from CERN who worked on the antimatter) and the police arrive too late to save the first victim, who is found under the Chigi chapel. They also arrive too late to save the second cardinal, murdered on St. Peter's Square, and the third one, burned alive in Santa Maria della Vittoria, where the kidnapper kills most of the policemen accompanying Langdon. In the meanwhile McKenna the Camerlengo fails to convince the cardinals to break the conclave and to evacuate the Vatican. Langdon manages to save the fourth one, Baggia, from being drowned in the Fontana dei Quattro Fiumi, who reveals they were kept prisoner in the Castel Sant'Angelo. Langdon and Vittoria go there with the police but get separated from them. The discover that McKenna is meant to be the next victim and they return to the Vatican through an ancient secret passage. They arrive just in time in the Pope's apartments to see McKenna threatened by Richter, the chief of the Swiss guard, who get killed by the police. Langdon then deduces that the antimatter is hidden in St. Peter's tomb. As only a few minutes remain before midnight, McKenna, having been trained in the Irish Air Force, takes the container and flies it up with a helicopter before jumping with a parachute. The explosion happens in high altitude, and the Vatican suffers only minor damage. The cardinals then consider making McKenna the new Pope, despite the fact he's not a cardinal. Just before dying Richter had given Langdon a key to access video recordings of the Pope's apartments, where Langdon discovers that the kidnapping has been organised by McKenna with the purpose of becoming the next Pope; the Illuminati is only a convenient common enemy to unite the Church against the perceived blasphemy of reconciling science and religion. Seeing no issue, McKenna commits suicide and the conclave elects Baggia as the new Pope.

Robert Langdon is suspected by the French police to have murdered the curator of the Louvre, who has been found naked and surrounded with cryptic symbols. Langdon deduces from them that the curator was a grand master of the Priory of Sion, a secret society sworn to protect the Holy Grail. With the help of Sophie, a police cryptographer who believes Landgon is innocent, and based on the symbols, they find in the Louvre a key hidden by the curator and escape the policemen. The key leads them to a bank where they retrieve a device containing a hidden message and requires a password to open. To hide from the police, they go to Sir Leigh Teabing, an expert on the Holy Grail. Teabing convinces them that the Holy Grail is actually a woman, none other than Maria Magdalena, Jesus' wife, and that the Priory of Sion has been protecting the descendants of Jesus ever since. They are also chased by a religious fanatic from Opus Dei who attempts to kill them (and who already killed the curator), with the aim to destroy proof of the existence of Jesus' descendants. They escape to London using Teabing's private jet, hoping to find the clue to unlock the device. They are betrayed by Teabing's butler who works for Opus Dei. They finally discover that Teabing is the one who was tipping the Opus Dei with the purpose of bringing down the Catholic Church for centuries of deceit regarding the truth about the Holy Grail. Threatened by Teabing, they go to Westminster Abbey where Langdon finds the key to open the device and eventually causes Teabing to be arrested by the police. The message in the device indicates that the Holy Grail lies “beneath the Rose”, leading the heroes to Rosslyn Chapel in Scotland, where they find the Priory of Sion's archives and proof that Sophie is the last descendant of Jesus. But the sarcophagus of Maria Magdalene is not there anymore, preventing any kind of genetic test against Sophie's DNA. In the end, Langdon understands that the rose is a reference to the “rose line” and that the sarcophagus is buried below the Louvre's inverted pyramid.

“vehnäolut… savu, kataja ja ruis”

Yllättävä katajanmarjan maku, myös vähän savuinen. Sisältää vehnämallasta, ohramallasta ja katajanmarjaa.

Panimoyhtiö Hiisi, Jyväskylä, Suomi. 5.5% alkoholia.

Lots of loosely related sketches, in front of a live audience.

Given a week number, it's not easy to know when it is located in the calendar. And to add to the confusion, there are three definitions of the week number (ISO-8601; Middle Eastern; North-American and Islamic). The EU and most European countries use the ISO-8601 definition, according to Wikipedia.

The following method is quite approximative so the actual definition does not matter so much, but it should help placing a week number in the calendar without having to look it up:

1. Divide by 4
2. Subtract 10%
3. Add 1

The integer part (before the decimal separator) of the result is the number of the month, and the fractional part (after the decimal separator) times three tells you near what day of the month it is located.

For example:

• Week 1: 1/4 is 0.25, minus 10% is about 0.2, plus 1 is 1.2; 2 times 3 is 6: it's around January 6th (Jan. 1-5, 2019 actually).
• Week 7: 7/4 is 1.75, minus 10% is about 1.6, plus 1 is 2.6; 6 times 3 is 18: it's around February 18th (Feb. 10-16, 2019 actually).
• Week 14: 14/4 is 3.5, minus 10% is about 3.2, plus 1 is 4.2; 2 times 3 is 6: it's around April 6th (Mar. 31-Apr. 6, 2019 actually).
• Week 42: 42/4 is 10.5, minus 10% is about 9.5, plus 1 is 10.5; 5 times 3 is 15: it's around October 15th (Oct. 13-19, 2019 actually).
• Week 35: 35/4 is 8.75, minus 10% is about 7.9, plus 1 is 8.9; 9 times 3 is 27: it's around August 27th (Aug. 25-31, 2019 actually).
• Week 52: 52/4 is 13, minus 10% is about 11.7, plus 1 is 12.7; 7 times 3 is 21: it's around December 21st (Dec. 22-28, 2019 actually).

Suite à des discussion sur la distance focale équivalente d'un objectif monté sur des appareil photo numériques équipés de capteurs de différentes tailles et sur des notions exotiques comme l'ouverture équivalent et la sensibilité équivalente évoquées par Richard Butler sur dpreview.com, je me suis penché sur la question de la pertinence de ces concepts. Les articles suivants publiés précédemment sur mon blog présentent les résultats de mes réflexions.

1. L'angle de champ
2. La profondeur de champ
3. La perspective
4. La sensibilité
5. Le temps de pose
6. L'affichage d'une photo

Je ne m'intéresse à la photo que sous l'angle de l'optique, et comme je ne suis pas photographe pour deux sous, j'ai peut-être écrit des énormités ; si c'est le cas, on peut poster des commentaires sous les articles et tenter de me convaincre que je me suis trompé.

Caractériser une photo

Une photo est souvent caractérisée par le modèle d'appareil ayant servi, ainsi que par la distance focale de l'objectif utilisé, le nombre d'ouverture et le temps de pose. Étant donné la confusion créée par la notion de distance focale équivalente, je me suis demandé si la distance focale était vraiment pertinente pour caractériser une photo. Mais caractériser quoi, exactement ? Et caractériser dans quel but ?

Je fais l'hypothèse que caractériser une photo sert à reproduire la photo, autant que possible à l'identique, avec le même appareil ou avec un autre appareil. Ce qu'on peut chercher alors à reproduire c'est l'angle de champ, les distances limites de la profondeur de champ (c'est à dire la distance du premier plan net et du dernier plan net) et le cas échéant un effet voulu de sur- ou sous-exposition, ou de flou de mouvement. On peut décrire ces caractéristiques par des paramètres ayant davantage de sens que le trio focale, diaphragme et temps de pose ?

L'angle de champ est une combinaison de la distance focale et la taille du capteur, donc indiquer seulement la distance focale en laissant le soin au lecteur de deviner la taille du capteur en fonction du modèle de l'appareil est possible, mais on peut faire mieux en indiquant directement la valeur de l'angle de champ au moment de la prise de vue. Il est ensuite possible de recréer cet angle de champ avec n'importe quelle combinaison judicieuse de capteur et d'objectif.

De même, la profondeur de champ dépend de la distance focale, de l'ouverture du diaphragme, de la taille des pixels du capteur et de la distance de mise au point. Au lieu de détailler les trois premières valeurs, on peut les combiner sous la forme de la distance hyperfocale. Les distances des premier et dernier plans nets sont alors deux fonctions simples de la distance de mise au point et de la distance hyperfocale. Reproduire la profondeur de champ devient alors simplement une question de prendre la même distance hyperfocale et de faire la mise au point sur la distance donnée.

Si le photographe ne cherche pas d'effet d'exposition particulier, la sensibilité du capteur est une fonction des autres paramètres pour une valeur d'exposition idéale, standard. En revanche si la photo a été volontairement sur- ou sous-exposée, il faut indiquer la sensibilité utilisée au moment de la prise de vue.

Le flou de mouvement enfin est particulier car il dépend du temps, et le temps de pose est le seul paramètre qui en dépende également. Dans de cas d'une exposition standard, le temps de pose a une valeur minimale qui dépend de la distance focale, et on peut supposer que cette valeur sera choisie car elle permet d'utiliser la sensibilité la plus faible possible et ainsi réduire le bruit. En revanche si un flou de mouvement est voulu par le photographe, ou au contraire si l'objet se déplace rapidement et que le but est de le « figer », il faut alors indiquer le temps de pose.

En conclusion, au lieu de caractériser une photo par le modèle d'appareil, la distance focale, le nombre d'ouverture et éventuellement le temps de pose et la sensibilité, on peut caractériser une image de manière plus générique et descriptive en indiquant l'angle de champ, la distance hyperfocale, la distance de mise au point et éventuellement la sensibilité et le temps de pose. Bien que ces nouvelles caractéristiques soient moins connues que celles utilisées jusqu'à présent, calculer leurs valeurs ne pose pas de problème aux appareils photos numériques et pourraient donc être incluses dans les métadonnées des images. Et je suis certain que la signification des caractéristiques « classiques » n'est pas mieux comprise par la plupart des photographes que les caractéristiques proposées ici, remplacer en ensemble de valeurs hermétique par un autre ensemble de valeurs hermétiques ne devrait donc pas poser de problème une fois vaincue la résistance naturelle de l'être humain au changement.

Applications numériques

Pour se faire une idée des valeurs numériques des caractéristiques décrites plus haut, voici des applications numériques de diverses formules pour trois appareils photos de référence : un compact, un boitier APS-C et un plein format avec 3 objectifs.

Appareils photo de référence

Appareil	Pixels	Capteur	Objectifs
A	21,1 Mpix	6,17×4,55 mm (1/2,3)	4,3-172,0 mm, f/3,3-f/6,9
B	25,0 Mpix	23,5×15,6 mm (APS-C)	16 mm, f/2,8 ; 18-135 mm, f3,5-5,6
C	27,1 Mpix	36×24 mm (plein format)	16-35 mm, f/4 ; 35-70mm, f/2,8; 70-200mm, f/2,8

Dimensions d'un pixel

Appareil	ε	Surface	Densité
A	1,15 μm	1,33 pm2	752 000 px/mm2
B	3,83 μm	14,7 pm2	68 200 px/mm2
C	5,65 μm	31,9 pm2	31 400 px/mm2

Angles de champ

Appareil	θ (rad)	θ (°)
A	1,45-0,446	83-2,55
B	1,45 1,33-0,208	83 76,2-11,9
C	1,86-1,11 1,11-0,599 0,599-0,215	107-63,4 63,4-34,4 34,4-12,4

Distances hyperfocales

Appareil	F (m)	f/N (mm)
A	2,01-3730	4,3/8-172/6,9
B	3,04-23,9 3,85-850	16/22-16/2,8 18/22-135/5.6
C	2,06-54,2 9,86-310 39,4-2530	16/22-35/4 35/22-70/2,8 70/22-200/2,8

Sensibilité

En admettant que les capteurs des appareils A, B et C ne diffèrent que par la taille de leurs pixels (ce qui est loin d'être évident) et en fixant un niveau de bruit à ne pas dépasser dans l'image obtenue, on peut comparer leur « sensibilités » relatives.

• A est 11 fois moins sensible que B et 24 fois moins sensible que C.
• B est 11 fois plus sensible que B et 2,2 fois moins sensible que C.
• C est 24 fois plus sensible que A et 2,2 fois plus sensible que B.

On peut aussi comparer, à distance focale et temps de pose égaux, de combien de crans il faut ouvrir ou fermer le diaphragme pour obtenir la même exposition et le même niveau de bruit.

• A doit ouvrir de 3,5 crans par rapport à B et de 4,6 crans par rapport à C.
• B doit fermer de 3,5 crans par rapport A et ouvrir de 1,1 crans par rapport à C.
• C doit fermer de 4,6 crans par rapport à A et de 1,1 crans par rapport à B.

Affichage

• Moniteur 16:10 24" FullHD : 2,30 Mpx ; taille d'un pixel : 405 μm
• Moniteur 16:9 32" 4k : 8,29 Mpx ; taille d'un pixel : 265 μm
• Moniteur 16:9 27" 5k : 14,8 Mpx ; taille d'un pixel : 167 μm
• Télévision 16:9 40" FullHD : 2,07 Mpx ; taille d'un pixel : 661 μm
• Télévision 16:9 55" 4k : 8,29 Mpx ; taille d'un pixel : 455 μm
• Télévision 16:9 85" 8k ; 33,2 Mpx ; taille d'un pixel : 351 μm

• Impression papier à 300 dpi :taille d'un pixel : 84,7 μm
• Impression à 300 dpi en 10×13 cm : 1,81 Mpix
• Impression à 300 dpi en 10×15 cm : 2,09 Mpix
• Impression à 300 dpi en 20×30 cm : 8,37 Mpix
• Impression à 300 dpi en 40×60 cm : 33,5 Mpix
• Impression à 300 dpi en 76×115 cm : 122 Mpix

“riisillä ja sitruunaruoholla ryyditetty”

Sitruunainen, ei miitään erikoista. Sisältää ohramallasta, riisiä ja vehnämallasta.

Panimoyhtiö Hiisi, Jyväskylä, Suomi. 5.0% alkoholia.

“fruity and hoppy”

Maybe a hint of bitter almond? But not may favourite. Contains malted barley.

Tennent Caledonian Breweries, Glasgow, Scotland. 5% alcohol.

A. Morin, Orixas 63% Brésil : grillé, assez doux

A. Morin, Yamasá 63% République Dominicaine : fruité ?

A. Morin, Chancamayo 63% : agrumes, frais

A. Morin, Pablino 70% Pérou : fleuri, légèrement acide

A. Morin, Yvan 70% Pérou : caramel, cannelle

Erithaj, Ben Tre 65% Vietnam : raisin secs, pain d'épices

Erithaj, Ben Tre 2016 70% 2 brassages : doux, un peu acide, cacaoté

Erithaj, Ben Tre 2016 70% 3 brassages : beurre, caramel

Erithaj, Lam Dong 70% Vietnam : légèrement fumé ?

Erithaj, Ba Laï 74% Vietnam : grillé

Erithaj, Ham Luong 80% Vietnam : très grillé, sec

Weiss, Ceïba 64% République Dominicaine : päte à gäteau crue

Weiss, Li Chu 64% Vietnam : très doux, vanille

Marabou. Premium Eko 70% : bonbon, très doux

Alter Eco, 75% Pérou : cacaoté, intense, doux, gâteau au chocolat

Taille d'un point d'affichage

La notion de flou qui est importante pour la profondeur de champ et le flou de bougé ne dépend pas tant de la taille des pixels du capteur que de la taille des pixels au moment de l'affichage, que ce soit sur un écran ou sur un support physique comme le papier. En effet, utiliser la taille d'un pixel comme taille maximale ε d'une tache de flou donne une garantie que le flou n'est pas perçu par le capteur et donc n'est pas enregistré dans l'image, mais puisque l'image est destinée à être regardée par un humain, ce qui importe in fine c'est la capacité de l'humain à percevoir le flou. On peut donc définir une nouvelle valeur de ε utilisé dans les calculs de profondeur de champ et de bougé en fonction de la manière d'afficher l'image.

Pour un affichage sur écran, on peut calculer la taille d'un pixel ε (en mètres) en fonction de la diagonale D (en pouces), du format R (par exemple 16/9) et du nombre de pixels par ligne n:

ε = 0,0254 × D√(1 + 1 / R) / n

Pour un affichage sur papier, on peut calculer la taille d'un point ε (en mètres) en fonction de la définition de l'impression d (en points par pouce, dpi):

ε = 0.0254 / d

Agrandissement maximal

Pour éviter les effets de crénelage lors de l'affichage, il faut aussi veiller à ne pas afficher l'image à une trop grande taille par rapport à la résolution de l'image numérique. En d'autres termes, le nombre de pixels N de l'affichage ne doit pas être plus grand que le nombre de pixels de l'image (c'est à dire du capteur si on ne retaille pas l'image). On suppose ici que l'intégralité de l'image est affichée sur l'écran ou le papier, c'est à dire qu'on ne va pas zoomer dans l'image.

Pour un écran, le nombre de pixels N vaut

N = n2 / R

Pour un tirage papier de densité d points par pouce, N vaut

N = 0,155 × l2d2 / R

où l est la largeur du papier et R est le rapport largeur sur hauteur.

On peut aussi calculer N en fonction de la largeur l et la hauteur h du papier :

N = 0,155 × lhd2

Exposition et temps de pose

Du point de vue pratique, l'exposition d'une photo dépend du nombre d'ouverture du diaphragme, de la sensibilité du capteur et du temps de pose. On peut comprendre cette exposition comme la quantité de lumière nécessaire pour que chaque pixel du capteur CCD reçoive suffisamment de photons pour produire une valeur « raisonnable » de ce pixel. On a alors le choix d'exposer ces pixels à un flot de lumière important pendant un temps court, ou au contraire un flot de lumière plus faible pendant un temps plus long pour recevoir le même nombre de photons, et donc obtenir le même résultat.

Plus formellement, l'exposition lumineuse H est définie par H = Et, où E est l'éclairement lumineux c'est à dire le flot de lumière et t est le temps de pose.

En faisant l'hypothèse d'un système idéal d'une lentille mince parfaitement transparente uniformément éclairée par l'objet photographié, on peut définir l'éclairement lumineux comme E = Lπ / (4(N / (1 - f / l))²) où L est la luminance de l'objet, f est la distance focale de l'objectif, l est la distance de l'objet et N est le nombre d'ouverture du diaphragme. Dans le cas courant où la distance focale est négligeable par rapport à la distance à l'objet, on peut simplifier cette définition en E = Lπ / (4N²).

Par ailleurs, la sensibilité est définie par S = H₀ / H où H₀ est une valeur d'exposition de référence, constante. En considérant que la luminance de l'objet est elle aussi constante, on obtient la relation

St / N2 = 4H0 / (Lπ)

qui indique bien que si l'un des trois paramètres N, S ou t varie alors l'un au moins des deux autres paramètres doit varier pour que l'égalité soit toujours vérifiée.

Flou et temps de pose

Si le sujet ou l'appareil photo se déplacent pendant la prise de vue, on comprend aisément qu'un point de l'objet donne une image qui se déplace sur le capteur, qui enregistre alors plusieurs points contigus.

Parmi tous les mouvements possibles de l'appareil photo qui conduisent à un flou de bougé, un mouvement simple à modéliser est une rotation de l'appareil photo autour du centre optique O. On considère que durant la prise de vue, le point A s'est déplacé en B, et que le temps de pose est assez long pour que le capteur enregistre toutes les positions prises par ce point entre A' et B'. L'image du point, au lieu d'être un point, est alors un trait de longueur h'. On peut exprimer h' en fonction de θ

h' = tan(θ)lf/(l-f)

Lorsque la distance focale f est négligeable devant l et que θ est inférieur à 0.5 radians (soit 29°, ce qui fait que l'erreur d'approximation de tan(θ) est inférieure à 10%), on peut simplifier en

h' = fθ

En considérant que l'angle θ est le résultat d'une rotation de vitesse angulaire ω durant un temps t, c'est-à-dire θ = ωt on peut écrire

h' = fωt

En notant ε la hauteur d'un pixel et en reprenant l'hypothèse que le flou est invisible si la taille h' de la « tache » de flou est plus petite qu'un pixel, on peut écrire que le flou de bougé est invisible si

t < ε/(fω)

On retrouve ici l'approximation dite « de l'inverse de la focale », à savoir que pour éviter le flou de bouger,

« le temps de pose minimum a la même valeur numérique que l'inverse de la distance focale exprimée en millimètres. »

Cette approximation suppose que ε/ω = 1/1000 m·s·rad^-1. On peut supposer que pour un photographe moyen, la vitesse ω de ses mouvements involontaires est constante, mais on voit que cette approximation dépend directement de la taille ε d'un pixel qui peut beaucoup varier d'un capteur à l'autre.

Le bruit

Chaque pixel d'un capteur CCD d'appareil photo numérique est un transducteur qui transforme une quantité de lumière reçue Q en une différence de potentiel électrique u₀ qui est proportionnelle à Q selon un facteur f :

u0 = fQ

Dans un situation idéale, une valeur donnée de Q devrait donner systématiquement la même valeur nominale u₀. En réalité, à cause du bruit, des mesures répétées d'une même valeur d'exposition donneront des valeurs différentes de u

u = u0 + ε

où ε est une erreur de mesure aléatoire. Cela signifie que chaque mesure répétée de u aura une valeur différente de ε, mais aussi que deux pixels voisins qui sont exposés de la même manière donneront des valeurs de u différentes.

Si on considère qui le bruit est un bruit blanc (ce qui est probablement faux mais suffisamment similaire à la réalité pour être utile à cette explication), alors les valeurs de ε sont couramment proches de zéro (et donc u est proche de u₀), mais ε peut parfois, plus rarement, être nettement plus grand que zéro et donc la valeur de u est nettement différente de u₀.

La sensibilité d'un capteur numérique

Les valeurs typiques de u sont très petites et il est donc nécessaire de les amplifier avant de les numériser. Ainsi une valeur v de pixel (typiquement entre 0 pour la valeur la plus sombre et 255 pour la valeur la plus lumineuse) est obtenue en effectuant

v = Au si Au ≤ vmax
v = vmax si Au > vmax

où A est le facteur d'amplification. Comme la valeur de v ne peut dépasser v_max, on comprend que si l'amplification A choisie est trop élevé par rapport à u, l'intervalle de valeurs possibles pour un pixel n'est pas suffisant pour représenter la valeur correcte de ce pixel, et on arrive à la saturation.

En faisant varier A, on peut faire varier la « sensibilité » du capteur et obtenir des valeurs élevées de v (donc un pixel très lumineux) à partir d'une valeur faible de u (par exemple en photographiant dans une situation de faible luminosité).

Cependant, comme v contient aussi le bruit ε, ce dernier est amplifié de la même manière :

 v = Au0 + Aε

Ainsi, plus la « sensibilité » du capteur est élevée, c'est à dire plus le facteur d'amplification A est élevé, plus le bruit est élevé et devient perceptible pour l'observateur.

Par exemple pour une image d'un objet noir, on s'attend à ce que v soit proche de zéro pour tous les pixels même pour une grande valeur de A parce que u₀ est justement proche de zéro. Mais il peut arriver que ε soit bien plus grand que u₀, ce qui conduit à ce que la valeur v du pixel soit essentiellement égale à Aε. Ceci se traduit par des pixels brillants au milieu de pixels sombres, typiques du bruit des photos prises en faible lumière avec une sensibilité élevée.

Comparaison de capteurs

Dans des conditions d'éclairage uniforme dans l'espace et le temps d'une surface s pendant un temps t (le temps de pose d'une photo), on peut définir les grandeurs suivantes :

• l'exposition lumineuse H est définie par H = Et,
• l'éclairement lumineux E est défini par E = Φ / s,
• le flux lumineux Φ est défini par Φ = Q / t

où Q est la quantité de lumière c'est à dire approximativement le nombre de photons qui arrivent sur la surface s. En combinant ces trois définitions, on obtient

Q = Hs

c'est à dire que la quantité de lumière qui arrive sur un pixel est proportionnelle à la surface de ce pixel. Autrement dit, à exposition H égale, un pixel plus grand reçoit une plus grande quantité de lumière qu'un pixel plus petit.

En reprenant définition de u₀ plus haut, on a

u0 = fHs

et donc, en ignorant pour le moment le bruit ε on a

v = AfHs

Ainsi, pour obtenir la même valeur v avec deux capteurs (capteur 1 et capteur 2) dont les pixels ont respectivement des surfaces s₁ et s₂, on a besoin d'un facteur d'amplification A₁ sur le capteur 1 et A₂ sur le capteur 2 tels que

A2 = A1s1 / s2

On a vu plus haut que le bruit est amplifié. Cela se traduit par

A2ε = A1εs1 / s2

c'est à dire que le bruit dans l'image obtenue par le second capteur est s₁ / s₂ fois plus élevé que le bruit dans l'image obtenue par le premier capteur.

Qualitativement, cela signifie que pour obtenir deux photos exposées de manière identiques avec deux appareils différents, l'un muni d'un capteur à grands pixels et le second muni d'un appareil à petits pixels, celui dont les pixels sont petits a besoin d'un facteur d'amplification plus élevé et produit donc une image plus bruitée.

Sensibilité

La sensibilité est définie par S = H₀ / H où H₀ est une valeur d'exposition de référence.

Un photographe s'attend à ce que lorsqu'on prend la même photo avec deux appareils (dont les capteurs sont équivalents à l'exception de la taille des pixels, et donc de leur nombre), l'image obtenue est exposée de la même façon (en supposant que la distance focale, le nombre d'ouverture, le temps de pose et la sensibilité sont les mêmes). Une conséquence est que les facteurs d'amplification des deux appareils doivent être différents puisque les tailles des pixels sont différentes, et que l'image de l'appareil dont les pixels sont plus petits contiendra donc plus de bruit.

Réciproquement, si on cherche à produire avec les deux appareils des images contenant une quantité de bruit identique, il faut changer les paramètres d'exposition de l'appareil produisant le plus de bruit de sorte à

• diminuer la sensibilité S d'un facteur s₁ / s₂ afin d'utiliser le même facteur d'amplification dans les deux appareils, et
• augmenter l'exposition H d'un facteur s₁ / s₂ afin de compenser la diminution de la sensibilité.

On peut parvenir à ce dernier point en augmentant le temps de pose ou en augmentant la surface de la pupille du diaphragme d'un facteur s₁ / s₂.

Selon le modèle simplifié utilisé ici, à tailles de capteurs égales, un capteur de plus haute définition (donc comportant un plus grand nombre de pixels) produira donc des images contenant plus de bruit.

Si on décide de considérer qu'avec une exposition de référence H_ref la sensibilité S_ref maximale d'un capteur de référence dont les pixels ont une surface s_ref représente une quantité de bruit de référence, on peut considérer qu'à quantité de bruit identique, un capteur de plus haute définition dont les pixels ont une surface s aura donc une « sensibilité équivalente » S_eq plus faible nécessitant une exposition H_eq. En effet S_ref = H₀ / H_ref et H_eq = s_ref / sH_ref, donc

Seq = Srefs/sref

Il faut noter que la sensibilité équivalente, qui dépend de la surface des pixels, n'a rien à voir avec la focale équivalente qui dépend des dimensions du capteur et non de celles de ses pixels.

Makea, vähän katkera, hedelmän makuinen. Sisälttää ohrasmallasta.

Valmistaja: Panimo Hiisi. 8% alkoholia.

Le grandissement

La hauteur h' de l'image d'un objet de hauteur h situé à une distance l d'un objectif de distance focale f est donnée par h' = hf / l. Le rapport des tailles entre l'objet et l'image s'appelle le grandissement γ, et en supposant que f est négligeable devant l, γ est défini par

γ = h' / h = f / l

Le grandissement dépend donc uniquement de la distance à l'objet et de la distance focale de l'objectif.

La perspective

On peut donner une valeur chiffrée à la perspective en comparant les tailles des images de deux objets de même taille mais situés à des distances différentes. En supposant que la profondeur de champ est suffisante pour que les images des deux objets soient nettes, on peut noter h'₁ et h'₂ les hauteurs de ces images et l₁ et l₂ les distances des objets, puis calculer le rapport h'₁ / h'₂

h'1 / h'2 = l2 / l1

On constate que le rapport des hauteurs des images dépend seulement du rapport des distances des deux objets. En particulier, il ne dépend pas de la distance focale de l'objectif (si cette dernière est négligeable devant les distances aux objets).

Une conséquence de ce constat est qu'un objectif à longue focale n'« écrase » pas davantage les perspectives qu'un objectif à courte focale (si on ignore les déformations sur les bords de l'image dûs aux courtes focale). Cette conclusion est cohérente avec le fait qu'un objectif à courte distance focale associée à un capteur de petite taille donnera la même image (avec la même perspective) qu'un objectif de plus longue distance focale associé à un capteur plus grand (lorsque le rapport des distance focales de ces deux objectifs est égal au crop factor des deux capteurs).

Le flou

Lorsque la mise au point d'un système optique (simplifié) a été effectuée, l'image d'un objet ponctuel A situé à une distance l de l'objectif est un point A'. La mise au point est cependant imparfaite pour un objet B situé à une distance L plus (ou moins) loin que l : les rayons lumineux convergent en B' au lieu de A', continuent leur course et vont s'étaler autour de A' dans une zone de largeur ε. Sur le capteur d'un appareil photo, l'image B' de B est donc une tache circulaire dont le diamètre ε dépend de L, de la distance de mise au point l, de la distance focale f de la lentille et du diamètre d de la pupille, c'est-à-dire le trou circulaire par lequel la lumière entre dans la lentille, délimitée par le diaphragme. On considère ici que la pupille est suffisamment grande pour négliger les effets dûs à la diffraction.

On considère que l'image d'un point est net lorsque l'observateur (humain, en général) est incapable de faire la différence entre un « vrai » point et une tache. Le diamètre ε maximal d'une telle tache est lié au pouvoir de séparation de l'½il de l'observateur, qui est lié non seulement à la taille de la tache mais aussi à la distance à laquelle se situe l'observateur : plus l'observateur est éloigné, plus il est difficile de distinguer une petite tache d'un « vrai » point. La valeur de cet ε maximal n'est pas universelle, car elle dépend in fine de l'affichage de la photo (sur écran ou en tirage papier) et de la manière dont on regarde cette photo : il sera par exemple plus facile de remarquer un flou en regardant de près une image tirée en grand format qu'en regardant de loin une image tirée en petit format.

La profondeur de champ

D'après l'article de Wikipedia sur la Profondeur de champ, les limites de distance où les objets donneront une image considérée comme nette, une fois choisie un valeur ε maximale sont

L = l / (1 ± εl/df)

Les objets dont la distance est située entre ces limites auront une image considérée comme nette, car la tache de diamètre ε est trop petite pour être distinguée d'un « vrai » point net. On remarque que pour photographier un objet donné situé à une distance l en utilisant un objectif de distance focale f donnée, ces deux valeurs limites ne dépendent que du diamètre de la pupille, et pas du tout de la taille du capteur de l'appareil photo. Plus précisément, si les pixels du capteur sont plus grands que ε il n'y aura aucun flou car la tache circulaire sera contenue dans un seul pixel. Si les pixels sont plus petits que ε mais que les pixels à l'affichage de la photo (sur écran ou sur papier) sont plus grands que la tache circulaire, alors il n'y aura aucun flou à l'affichage, mais on pourra voir le flou en zoomant dans l'image (ce qui revient à dire que les pixels d'affichage deviennent plus petits que la tache circulaire).

Le nombre d'ouverture et la focale équivalente

La taille d de la pupille est exprimée dans la pratique non pas en millimètres, mais en fraction 1/N de la distance focale de l'objectif : d = f / N. N est le nombre d'ouverture et vaut donc N = f / d.

Si considère qu'en utilisant un objectif de distance focale f sur un capteur de taille différente on a une distance focale équivalente f_eq = kf, alors on peut écrire

N = feq / kd

où k est appelé « crop factor », soit

kN = feq / d

En introduisant la notion de nombre d'ouverture équivalent N_eq défini par N_eq = kN, la formule précédente devient

Neq = feq / d

qui est a la même forme que la définition du nombre d'ouverture, mais en utilisant le nombre d'ouverture équivalent et la focale équivalente.

Hyperfocale

On peut définir F = df/ε. En remplaçant le diamètre de la pupille d par son expression utilisant la distance focale et le nombre d'ouverture, on obtient

F = f2/εN

Les distances limites de la profondeur de champ deviennent alors

L = lF / (F ± l)

La distance hyperfocale F est la distance l minimale pour laquelle tous les objets entre F/2 et l'infini sont nets. Un corrolaire est que lors d'une mise au point à l'infini, tous les objets situés au delà d'une distance F sont nets.

Si on utilise la distance hyperfocale comme unité de distance de mise au point photographié, on peut représenter, de manière générique pour n'importe quelle combinaison de capteur, distance focale et nombre d'ouverture, les distances limites entre lesquelles les objets forment des images nettes (en supposant toujours que la distance focale est négligeable par rapport à la distance de mise au point).

En notant l = qF, on peut exprimer L en fonction de q et F:

L = qF / (1 ± q)

Le diagramme ci-contre indique les limites minimum et maximum de netteté pour une mise au point égale à une fraction de la distance hyperfocale F. On remarque que vers 0,9F, la limite maximum de netteté est déjà à 10F, et tend vers l'infini lorsqu'on se rapproche de 1F. Si on fait la mise au point à une valeur supérieure à F, la limite maximum de netteté reste à l'infini alors que la limite minimale n'augmente comparativement que très peu.

Le diagramme ci-contre représente les limites de netteté pour des distances de mise au point inférieures à 0,5F. On remarque que lors d'une mise au point à 0,5F, les objets situés au delà de F ne sont plus nets.

Le modèle simplifié

On peut simplifier un objectif d'appareil photo en le considérant comme une lentille mince de centre O et de distance focale f. L'axe optique de la lentille passe par O et est perpendiculaire à cette dernière. Les points F et F', situés de part et d'autre de la lentille à une distance f sont les points focaux de cette dernière. L'objet AB, situé à une distance l de la lentille donne alors une image A'B' sur le capteur de l'appareil photo. La hauteur de l'objet est h et la hauteur de l'image est h'.

Les règles de l'optique géométrique sont simples :

• les rayons lumineux passant par le centre O de la lentille ne sont pas déviés, donc AA' et BB' sont des lignes droites ;
• les rayons lumineux qui arrivent sur la lentille parallèlement à l'axe optique ressortent de la lentille en passant par le point focal F', tel le rayon BCB' ;
• les rayons lumineux qui arrivent sur la lentille en passant par le point focal F ressortent parallèlement à l'axe optique, tel le rayon BDB'.

L'angle de champ

L'angle sous lequel l'objectif voit l'objet AB est l'angle θ. On a tan θ = h / l et tan α = h / (l - f) =  h' / f. On en déduit que tan θ = (l - f)h' / lf, que l'on peut simplifier (lorsque f est négligeable devant l) en tan θ = h' / f.

Si on considère que l'image A'B' et son symétrique (qui n'est pas représenté sur le diagramme) sont ensemble suffisamment grands pour couvrir l'intégralité de la diagonale du capteur, on sait que la hauteur h' de l'image représente la moitié de la diagonale d du capteur. Cela signifie que l'angle θ est la moitié de l'angle de champ du système objectif-capteur. On a alors

tan(angle de champ / 2) = d / 2f

Ceci montre que l'angle de champ dépend seulement de la distance focale de l'objectif et de la taille du capteur (lorsque f est négligeable devant l, soit en pratique lorsque la distance à l'objet est au moins dix fois plus grande que la distance focale).

Angle de champ et taille de capteur

Pour deux capteurs de tailles différents et avec un objectif donné, le rapport des tangentes des demi-angles de champ est égale au rapport des tailles des capteurs. Pour des angles de champ de moins de 53° (c.-à-d. lorsque la valeur de la tangente est proche de la valeur de l'angle, en radians), c'est à dire lorsque la distance focale est plus grande que la diagonale du capteur, on peut faire l'approximation que le rapport des angles de champ est égal au rapport des tailles des capteurs, avec une erreur de moins de 10%, soit

angle1 / angle2 = diagonale1 / diagonale2

Ainsi par exemple un capteur deux fois plus grand qu'un autre capteur donnera un angle de champ deux fois plus grand lorsque ces capteurs sont munis d'objectifs de même distance focale.

Si on veut une approximation qui fonctionne aussi pour de grands angles, il devient nécessaire de comparer les tangentes des demi-angles de champ, par exemple

tan(angle1 / 2) / tan(angle2 / 2) = diagonale1 / diagonale2

ou de faire intervenir les arctangentes, par exemple

angle1 / angle2 = arctan(diagonale1 / 2f) / arctan(diagonale2 / 2f)

ce qui est nettement moins pratique à évaluer de tête.

La distance focale équivalente

Supposons que l'on a un capteur de référence dont la diagonale est d_ref (par exemple un capteur 24×36 mm) et un objectif de distance focale f.

Lorsqu'on utilise cet objectif avec un autre capteur dont la diagonale est d, on a un angle de champ θ défini par

tan(θ / 2) = d / f

On veut alors savoir quelle serait la distance focale équivalente f_eq d'un objectif fictif donnant le même angle de champ θ si on utilisait cet objectif fictif avec le capteur de référence. On a

tan(θ / 2) = d / f =  dref / feq

et donc

feq = f × dref / d

(cette valeur est correcte si f est négligeable par rapport à l et par rapport à ld / d_ref).

Comparée à l'angle de champ, le calcul de la distance focale équivalente n'est pas limitée à des angles de champ suffisamment petits. La distance focale équivalente fait cependant appel à un facteur caché, la taille du capteur de référence.