Les musiciens et les mathématiciens se sont cassés les dents pendant des
milliers d'années sur la définition de la gamme, des notes, des intervalles et
des accords. Ce qui suit est le résultat de mes refexions sur la raison dei ces
difficultés.
Soit une note, appelée C1, de fréquence f. Lorsqu'on joue cette note sur un
instrument, des harmoniques de fréquence 2 f, 3 f… sont produites en même
temps. L'octave C2 (de fréquence 2 f) est donc naturellement en harmonie avec
C1. Lorsqu'on joue en même temps C1 et C2 de même niveau sonore, les deux
fréquences interfèrent et produisent un son de fréquence égal à la moyenne de
C1 et C2, donc 3/2 f, que l'on appellera G1. Ce nouveau son est modulé par
une fréquence perçue
2 f - f = f, trop élevée dans la pratique pour entendre le battement.
L'intervalle de fréquence C1 – G1 est appelé une quinte juste.
De la même manière, lorsqu'on joue en même temps C1 et G1 de même niveau
sonore, on obtient une interférence de fréquence égale à la moyenne des
fréquences de C1 et G1, soit 5/4 f. On appelle cette nouvelle note E1.
L'intervalle C1 – E1 est appelé une tierce majeure, et l'accord C1 – E1 – G1 est
appelé accord majeur.
En théorie de la musique, on peut traverser toutes les notes de la gamme en
partant de C1 et montant d'une quinte, puis en répétant l'opération. Ainsi, on
passe de C1 à G1, puis en montant encore d'une quinte on passe de G1 à D2,
puis A2, puis E3 et B3. Enfin, en montant d'une quinte depuis F0, on arrive à
C1. On pourrait donc imaginer calculer les fréquences de D, F, A et B de cette
manière:
- En augmentant F0 (fréquence 2/3 f) d'une quinte (donc en multipliant par
3/2) on arrive bien à C1 (fréquence f) ; ceci donne une fréquence de 4/3
f pour F1.
- G1 (3/2 f) augmenté d'une quinte (multiplié par 3/2) donne D2 (9/4 f),
et donc D1, une octave plus bas, a une fréquence de 9/8 f.
- D1 augmenté d'une quinte donne de la même manière A1 (27/16 f).
- A1 augmenté d'une quinte donne E2 (81/32 f), donc E1 a une fréquence de
81/64 f.
Mais on a vu plus haut que E1 devait avoir une fréquence de 5/4 f (soit 80/64
f) pour être en harmonie avec C1 et G1 ! C'est donc là que l'édifice
commence à s'écrouler : la tierce C1 – E1 n'a pas le même rapport de fréquences
que la tierce C2 – E2 ; en d'autres termes, E2 n'est pas exactement une octave
au dessus de E1 si on s'en tient à la définition « par quintes ». Les deux
définitions de la tierce étant incompatibles, il a fallu trouver une solution.
La manière dont les fréquences des notes sont définies s'appelle le
tempérament, et de nombreux tempéraments on été inventés au fil des siècles.
La solution retenue depuis le XIXè siècle est le tempérament égal, où tous les
demi-tons sont séparés d'un rapport de fréquence égal à 21/12. Ce
tempérament donne des accords qui sont tous faux, mais suffisamment peu faux
pour que ce ne soit pas gênant.
